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2020年全国硕士研究生招生考试
数学(一)
(科目代码：301)
一、 选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符
合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)
(1) 当工―o+时，下列无穷小量中最高阶的是(’).
(A)「(e，- l)dz
(B) Kind+ 7^)^
J 0
Jo
rsin x
Cl—cos jc ------------
(C) sin 厂 dr
(D)
v sin3Z dt
J 0
Jo
(2) 设函数fd)在区间(-1,1)内有定义，且=0,则( ).
(A) 当lim 了\工\ =0时,/(j?)在工=0处可导
L0 / h I
(B) 当lim心孕 =0时,/(x)在x =0处可导
L ° X
(C) 当/ (jc )在工=0处可导时，lim 仔"=0
/工 |
(D) 当f (j?)在久=0处可导时Jim ')=0
l0 x
(3) 设函数f (x ,y)在点(0,0)处可微,/(0,0) =0 ,n =
,学,一 1) (,非零向量a与"
垂直，则(
).
(A)
lim
1 n •(鼻，y
,y)) \ 存在
(工，，)->(0,0)
J X 2
1 2
(B)
lim
n X ((0,0)
J x 2
(D)
lim
1 a X (JC 9)',f(j： ,j)) |•存在
(2”严收敛
” =1
）.
6）已知直线L]
7 一 a2 y — b2
与直线L2
a2
宁相交于-点,
la>\
记向量 a, = b,d = 1,2,3,则（
）.
（A）a1可由a2 .a3线性表示
（Oa3可由a】.a2线性表示
（B）a2可由aj ,a3线性表示
（D）a | ,a2 >a3线性无关
7)设2,C 为三个随机事件，且 P(A)=F(£)=P(C)= +，P(AE)=0,
P(AC)== P（BC）=右，则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为（
）.
(b4
(c4
(d4
X — a3 y — b3
5
b、
b2
8）设X] ,X2,-,X100为来自总体X的简单随机样本，其中P{X=O}=P{X=1}=*@Q）
log
表示标准正态分布函数，利用中心极限定理可得<55}的近似值为（
）.
1 = 1
（A）l— ①（1）
（B）0（1）
（01-0（0. 2）
（D）①（0.2）
:■、填空题（9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.）
j--*0
0z — 1 ln(l +工)
d2
10)设
1
则空
y=ln(/ +丿厂十1 ), 山'
11)设函数 /(jt )满足严(乂)+ aff (jr ) + /(jr ) = 0(a > 0),且 /(0) = m (0)=刃9 则
「+8 / ( jc ) djr =
.
J 0
■乜，则r
0
12）设函数/（工q）=
djc c)y
(1,1)
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（13）行列式
-1
0
0
-1
（14） 设X服从区间（-y,y）上的均匀分布,Y = sin X,则Cov（X,Y） =________.
三、 解答题（15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（
15） （本题满分10分）
求函数f （工,y）=工3 + 8j/3 — xy的极值.
（16） （本题满分10分）
计算曲线积分/=[ 超[笃血+ 务学曰夕，其中L是工$ + ；/=2,方向为逆时针方向.
J厶4_z 十夕
4工十夕
（17） （本题满分10分）
1
OO
设数列｛a” ｝满足:5 =1, G + l）a”+i = （" +刁）a”，证明：当|工| < 1时，幕级数工a”z"
乙
n = 1
收敛，并求其和函数.
（18） （本题满分10分）
设工为曲面z=ya-2+j/2（l < a：2 +^2 < 4）的下侧JQ）是连续函数，计算
) + 2工 一
Lyf(工夕)+ 2y + ]dzcLz + \_zf (^xy ) +
djy.
（19）（本题满分10分）
设函数/■&）在区间[0,2]上具有连续导数,/（0）= f（2）= 0,M= max ｛ |/（x） | ｝，证明:
工€[0,2]
（I）存在e e（0,2）,使得|>m；
（n）若对任意的工e（0,2）, |厂（工）| wm,则m = o.
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（20）（本题满分11分）
设二次型/'（U2）=# — 4n +4云 经正交变换「1
）化为二次型
\工2 / 也/
g（》i，夕2）=ay\ 十 4）*2 + by2 ,其中 a > b.
（I ）求a,b的值；
（n）求正交矩阵Q.
（21）（本题满分11分）
设A为2阶矩阵,P = （a ,Aa ），其中a是非零向量且不是A的特征向量.
（I ）证明P为可逆矩阵；
（fl ）若AF +Aa -6a =0,求P }AP,并判断A是否相似于对角矩阵.
（22）（本题满分11分）
设随机变量X】,X2,X3相互独立，其中X］与X2均服从标准正态分布，Xs的概率分布为
P{X3 =0} = P{X3 =1} =1 y = x3x1 +（1-X3）X2.
（I ）求二维随机变量（X|,Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数①（工）表示；
（n）证明随机变量y服从标准正态分布.
（23）（本题满分11分）
设某元件的使用寿命T的分布函数为
FG)= k
> 0,
其他，
其中0 ,m为参数且大于零.
（I ）求概率 P{T >/}与 P{T > s+t I T>s},其中 s>0,/>0；
（H ）任取"个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为若加已知，求0
的最大似然估计值a.