--- [第 1 页] ---
2020 年数一真题
一、 选择题
(1) 当x →0+ 时，下列无穷小量中阶最高的是(
)
(A)
´ x
0 (et2 −1)dt.
(B)
´ x
0 ln(1 +
√
t3)dt.
(C)
´ sin x
0
sin t2dt.
(D)
´ 1−cos x
0
√
sin3 tdt.
(2) 设函数f(x) 在区间(−1, 1) 内有定义，且lim
x→0 f(x) = 0，则(
)
(A) 当lim
x→0
f(x)
√
|x| = 0 时，f(x) 在x = 0 处可导.
(B) 当lim
x→0
f(x)
√
x2 = 0 时，f(x) 在x = 0 处可导.
(C) 当f(x) 在x = 0 处可导时，lim
x→0
f(x)
√
|x| = 0.
(D) 当f(x) 在x = 0 处可导时，lim
x→0
f(x)
√
x2 = 0.
(3) 设函数f(x, y) 在点(0, 0) 处可微，f(0, 0) = 0，n =
(
∂f
∂x, ∂f
∂y , −1
)
(0,0)，非零向量α 与n 垂直，
则(
)
(A)
lim
(x,y)→(0,0)
|n·(x,y,f(x,y))|
√
x2+y2
存在.
(B)
lim
(x,y)→(0,0)
|n×(x,y,f(x,y))|
√
x2+y2
存在.
(C)
lim
(x,y)→(0,0)
|α·(x,y,f(x,y))|
√
x2+y2
存在.
(D)
lim
(x,y)→(0,0)
|α×(x,y,f(x,y))|
√
x2+y2
存在.
(4) 设R 为幂级数
∞
∑
n=1
anxn 的收敛半径，r 是实数，则(
)
(A) 当
∞
∑
n=1
a2nr2n 发散时，|r| ≥R.
(B) 当
∞
∑
n=1
a2nr2n 收敛时，|r| ≤R.
(C) 当|r| ≥R 时，
∞
∑
n=1
a2nr2n 发散.
(D) 当|r| ≤R 时，
∞
∑
n=1
a2nr2n 收敛.
(5) 若矩阵A 经过初等列变换化成B，则(
)
(A) 存在矩阵P ，使得P A = B.
(B) 存在矩阵P ，使得BP = A.
(C) 存在矩阵P ，使得P B = A.
(D) 方程组Ax = 0 与Bx = 0 同解.
(6) 已知直线l1 :
x−a2
a1
=
y−b2
b1
=
z−c2
c1
与直线l2 :
x−a3
a2
=
y−b3
b2
=
z−c3
c2
相交于一点，记向量
αi =
ai
bi
ci
，i = 1, 2, 3，则(
)
(A)α1 可由α2，α3 线性表示.
(B)α2 可由α1，α3 线性表示.
(C)α3 可由α1，α2 线性表示.
(D)α1，α2，α3 线性无关.
(7) 设A，B，C 为三个随机事件，且P(A) = P(B) = P(C) = 1
4，P(AB) = 0，P(AC) = P(BC) =
1
12，
则A，B，C 中恰有一个事件发生的概率为(
)
1
--- [第 2 页] ---
2020 年数一真题
(A) 3
(8) 设X1，X2，· · · ，X100 为来自总体X 的简单随机样本，其中P{X = 0} = P{X = 1} = 1
2，Φ(x)
表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得P
{100
∑
i=1
Xi ≤55
}
的近似值为(
)
(A)1 −Φ(1).
(B)Φ(1).
(C)1 −Φ(0.2).
(D)Φ(0.2).
二、 填空题
(9) lim
x→0
[
1
ex−1 −
1
ln(1+x)
]
=
.
(10) 设
x =
√
t2 + 1,
y = ln(t +
√
t2 + 1),
则
d2y
dx2
t=1 =
.
(11) 设f(x) 满足f ′′(x) + af ′(x) + f(x) = 0(a > 0)，f(0) = m，f ′(0) = n，则
´ +∞
0
f(x)dx =
.
(12) 设f(x, y) =
´ xy
0
ext2dt，则
∂2f
∂x∂y
(1,1) =
.
(13) 行列式
a
0
−1
1
0
a
1
−1
−1
1
a
0
1
−1
0
a
=
.
(14) 设X 服从
(
−π
2 , π
2
)
上的均匀分布，Y = sin X，则Cov(X, Y ) =
.
三、 解答题
(15) 求函数 f(x, y) = x3 + 8y3 − xy 的极值.
(16) 计算I =
¸
L
4x−y
4x2+y2 dx +
x+y
4x2+y2 dy，其中L 为x2 + y2 = 2，方向为逆时针方向.
(17) 设数列{an} 满足a1 = 1，(n + 1)an+1 =
(
n + 1
2
)
an. 证明：当|x| < 1 时，幂级数
∞
∑
n=1
anxn 收敛，
并求其和函数.
(18) 设Σ 为曲面z =
√
x2 + y2(1 ≤x2 + y2 ≤4) 的下侧，f(x) 为连续函数. 计算
I =
¨
Σ
[xf(xy) + 2x −y]dydz + [yf(xy) + 2y + x]dzdx + [zf(xy) + z]dxdy.
(19) 设函数f(x) 在区间[0, 2] 上具有连续导数，f(0) = f(2) = 0，M = max
x∈[0,2] |f(x)|. 证明：
(I) 存在ξ ∈(0, 2)，使|f ′(ξ)| ≥M.
(II) 若对任意的x ∈(0, 2)，|f ′(x)| ≤M，则M = 0.
(20) 设二次型f(x1, x2) = x2
1 −4x1x2 + 4x2
2 经过正交变换
(
x1
x2
)
= Q
(
y1
y2
)
化为二次型g(y1, y2) =
ay2
1 + 4y1y2 + by2
2，其中a ≥b.
(I) 求a，b 的值.
(II) 求正交矩阵Q.
(21) 设A 为2 阶矩阵，P = (α, Aα)，其中α 是非零向量且不是A 的特征向量.
(I) 证明P 为可逆矩阵.
(II) 若A2α + Aα −6α = 0，求P −1AP ，并判断A 是否相似于对角矩阵.
(22) 设随机变量X1，X2，X3 相互独立，其中X1 与X2 均服从标准正态分布，X3 的概率分布为
P{X3 = 0} = P{X3 = 1} = 1
2，Y = X3X1 + (1 −X3)X2.
--- [第 3 页] ---
(I) 求二维随机变量(X1, Y ) 的分布函数，结果用标准正态分布函数Φ(x) 表示.
(II) 证明随机变量Y 服从标准正态分布.
(23) 设某种元件的使用寿命T 的分布函数为
F(t) =
1 −e−( t
θ)
m
,
t ≥0,
0,
其他.
其中θ，m 为参数且均大于零.
(I) 求概率P{T > t} 与P{T > s + t|T > s}，其中s > 0，t > 0.
(II) 任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1，t2，· · · ，tn，若m 已知，求θ 的
最大似然估计值ˆθ.