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2019年全国硕士研究生招生考试试题
一、 选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目
要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）
(I)当X ----+ 0时，若x - tan x与x k 是同阶无穷小，则k = (
(A)l.
(B)2.
(C)3.
、丿
(D)4.
(2) 设函数f(x) = { XIX I'X 冬O ＇则X = 0 是f(x)的（
）
xln x,
x > 0,
(A)可导点，极值点
(B)不可导点，极值点
(C)可导点，非极值点
(D)不可导点，非极值点
(3) 设飞｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（
）
CB) Ic-1 尸—1
""'
u;
(C)(i-2:;)·
(D) (u!., 一式）．
(4) 设函数Q(x,y) =今．如果对上半平面( y > O)内的任意有向光滑封闭曲线C都有
乎P(x,y)dx + Q(x,y)d y = 0, 那么函数P(X,y)可取为（
）
(A) y -子
1
x 2
(B) — - —
1
1
(C) — - —.
1
(D)x - —.
y
y
(5) 设A是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵．若A 2 + A = 2 E, 且IA I = 4, 则二次型x TAx的
规范形为（
）
00 u
(A) I 二
n=l n
(A) Yi + y; + y; ·
(B) Yi + y; - y; ·
(C) Yi - y; - Yi·
(D) - Yi - y; - y; ·
(6) 如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
ail x + ai2 y + ai3z = d;(i = l , 2 , 3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A, 则（
(A)r(A) = 2, r(A) = 3.
(B)r(A) = 2, r(A) = 2.
(C)r(A) = 1, r(A) = 2.
(D)r(A) = 1, r(A) = 1.
(7) 设A,B为随机事件，则P(A) = P(B)的充分必要条件是（
）
(A) P (A U B) = P (A) + P (B) .
(B) P (AB) = P (A) P (B) .
(C) p (A B) = p (B A) .
(D) p (AB) = p (A B) .
(8) 设随机变豐X与Y相互独立，且都服从正态分布N(µ,矿），则Pl IX - YI < 1 f (
)
(A)与µ 无关，而与矿有关.
(B)与µ 有关，而与矿无关
(C)与µ,矿都有关
(D)与µ,矿都无关
— 1
—
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二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）
(9) 设函数八u)可导，z = /(sin y -sin x) + xy, 则一—- . -+
. 一
1加1加
COS X
彻
cosy切
(10) 微分方程2yy'- r
2 - 2 = 0满足条件y(O) = 1的特解y =
(11) 幕级数2 (- 1)"
几=O (2n) ! x"在(0, +oo)内的和函数S(x) =
(12) 设凶设为曲面x2 + y
2 + 4z2 = 4 (z¸0)的上侧，则ff J4 - x2 - 4z2dxdy =
(13) 设A = (a1 , a2 , a3)为3阶矩阵．若a1'a2 线性无关，且a3 = - a1 + 2a2 , 则线性方程组
Ax =0的通解为
(14) 设随机变掀X的概率密度为八x) = (f'
O < x < 2'F(x)为X的分布函数，E(X)为X的
0, 其他，
数学期望，则Pj F(X) > E(X) - 1 l —,•
三、 解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(15) (本题满分10分）
设函数y(x)是微分方程y'+xy = e 寻满足条件y(O) = 0的特解
(I)求y(x);
(II)求曲线y = y(x)的凹凸区间及拐点．
(16) (本题满分10分）
设a, b为实数，函数z = 2 + ax2 + by
2 在点(3, 4)处的方向导数中，沿方向l = - 3i - 4j的
方向导数最大，最大值为10.
(I)求a, b;
(II)求曲面z = 2 + ax2 + by
2 (z ;;,: 0)的面积．
— 2
—
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(17) (本题满分10分）
求曲线y = e 一允sin x(xp0)与x轴之间图形的面积
(18) (本题满分10分）
1
设a,. = L x"Jl了五x(n = 0, 1 , 2, …）．
(I)证明数列｛叮单调递减，且a,.
= —一－
n -1
n + 2 a几一2(n = 2, 3,-·· );
(II)
.
a
求hm
n
.
n----+oo a 几一1
(19) (本题满分10分）
设0是由锥面忒+ (y-z)2 = (l -z)2(0qzq1)与平面z = 0围成的锥体，求0的形心
坐标
(20) (本题满分11分）
设向量组a
(1 2 1
＝
，
）平=(1 , 3, 2)
T ,a3 = (1 , a, 3尸为R
3的一个基，/J=(l,1,l)
T
在这个基下的坐标为( b, c, 1)飞
(I)求a,b,c;
(II)证明生立3 '/J为R
3的一个基，并求生立3 '/J到叮生立3的过渡矩阵．
— 3
—
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(21) (本题满分11分）
已知矩阵A= 厂。
-
q
2
=
l
rJ与B =
[s
一]
]相似．
(I)求x,y;
(II)求可逆矩阵P使得p-1AP= B.
(22) (本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为PjY=-If= p,
PjY= If= 1-p(O
(23) (本题满分11分）
设总体X的概率密度为
J(x; 矿）＝｛尸e亏，
X '3µ,
。
X <µ,
其中µ是已知参数，(T > 0是未知参数，A是常数. X1 , 凡，…，xn 是来自总体X的简单随机
样本．
(I)求A;
(I[)求矿的最大似然估计量
— 4
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