(11) 【答案】n+am
l3
厂f (x)dx =-厂[f' (x) +af' (x)]dx =- J' (x) 厂- af (x) 尸
。
。
。
。
【解析】
只需求出J' (十=)=丿：巴J' (x) 及f (十=) =
Iƶ巴f (x)即可．
微分方程的特征方程为入2 +a)..+l = O
入1, 2= —a土Jc!-=了I
2
当a>Z 时，入I , A2 为两负实根，f位）= C1e'• 工+C2e甲，
当a=Z 时，入1= 入2=-1,/ (x) = CC1 + C2x)e—r'
v'4=?
v'4=?
－和
当O
(12) 【答案】4e
【解析】
a2 f
f (x,y)有二阶连续偏导，利用一一－＝—一－
a2 f
3或y
ayax·
aJ
- = xe
,(.ryl
. ay
• 7 •
2
．
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叮
扫x
所求主勹
＝主LI
·= 4e
.
OXOy CJ.I)
0戒X
(I 、!)
(13
)【答案】矿(a1-4)
=
e.r'/ + xex"/ • 3归
【解析】由行列式性质恒等变形，例如把2行加到1行，3行加到4行，再把1列的-1倍加到
2列，4列的— 1 倍加到3列
a
O
- l
l
a aO
O
a
0 0 0
0
a 1
-1
0 a l
-1
0 a 2 -1
— 1
1
a
＝
O
— 1
1
a O = -1
2 a
0
1
-1
0
a
O
O a a
O
0 0 a
2 a 2
= a 2
a
I = a
2 (a2 — 4
)
【评注】
基本计算题，解法非常多，也可每列都加到第1 列，再消o,…
(15) 【解】由{ /
得驻点为(0,0 ),(- -
几= 24y2 - X = 0
6'12).
可计算A=几= 6x,B =几=- 1,C = fўy = 48y
判别式t::,.= AC -B2 = 288xy - 1.
在(0,0) 点处，!::,.=-1<趴不是极值点；
在尸上
＝
6 12 ）点处，t::,.= 3 > 0 且A
1 > O ,
取极小值为I( 上上）＝—
1
6'12
215·
(16
)【分析】挖去奇点(0 ,0汃用格林公式
．
【解】取L1 : 丘+ yz = e2 (e2 足够小），方向为顺时针方向，
则I=乎
釭- y
2 dx +
X + y
z dy -§
釭-Y2 dx +
x + y
?. dy
L+L1 4x 2 + y
丘-l-y
凸丘+ y
4:rz + y
令P=
4x-y
、工+ y
4
x z + yz , Q= 4. 甘+ y2'
计算得aQ
抒
- 4x2 -8xy + y2
＝
＝
妇
的
(4:rz + yz ) z
崎
因而I= 0
- 2
(4:r — y )dx+ (:r+ y)dy = 了
2dxdy
E
L
E JJ
其中D1= { (x,y) I 4x2 + y2
E勹．
所以I= 今XrcXe:X主= TC.
E
2
o,
(17) 【分析】得到和函数的微分方程，解微分方程求出和函数．
1
n+-
【解】由阿达玛公式p= lim
生旦
= lim-主= 1.
" -·џa,,
n-= n + l
.
• 8 •
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2020 年全国硕士研究生招生考试数学（一）参考答案．
=
幕级数2 牛x的收敛半径R=上=1, 所以，当I x I< 1 时，qa,,x"收敛．
n-1
P
n-1
二。
令S(x)=ra,,x", 则
,,-]
=
=
=
S'(x) =Ʒna ,,x'户i=q(n+l)
,,
1
a,
汁1X +a1 =r(n+歹)a,,x" 十1
n-1
n-1
n-1
=
=
=
=
llnX
上sa nx" 十1
=Ƹna,,x" 十上sa,,x" +l = x心
")'+
2
2
n-1
n-1
n-1
n-1
l
s'(x)
1
1
即S
1 (x) = xS'(x) +—S(x) + 1
= -• —一一．
2
' S (x) + 2
2
1 -x
1
In I S (x) + 2 I=— —In I 1-x曰In C,
2
C1
士Ci
I SCx)+21=
,S (x)+2=
二
二．
亦是S (x)+2 =
C
厂
由S (O) = 0 得C= 2, 所求和函数为S(x)=
-2.
2
厂
(18) 【分析】
利用投影轮换法．
【解】
，
X
曲面:Z = /2二了的法向量n = {zx ,z:,-1} = {
'
y
, — l
立立｝
』
贝tlI=
{P,Q,R}·{-zx, — z:, 1 }dxdy
:!;
= If[_ x(汀(xy)+2x-y)_y (yf (xy)+2y+x)
]
,J x 2 + v2
,J x z + v2
＋寸(xy)+z dxdy
＝』［－，二巧(xy) — 2左二了三f(xy) +习dxdy
= II左杠dy
CD : 1tx 2 + y
2t4)
＝厂叫: r • rdr =牛
【评注】
本题只给出j釭）连续，因而不能采取补曲面高斯公式计算．
(19) 【证明l
(I >设I f(c) I= M.
若cE (0,1], 由拉格朗日定理知存在t;E (O,c), 使
J' (t;) = J(c) - f(O)
f (c)
＝、
c-0
C
从而有I J'O
M = I /Cl) I = If f'(x)dx I勹: I /'Cx) I cl工
(20) 【韶】C I)二次型J经正交变换X=Qy化为二次型g. 记二次型f,g的矩阵分别是A和
B. 即
A=[—\ -/],n =勹勹
因AѡB,于是Ѣa,; =ѣb,; , I A I = I B I , 即{:-勹
，
: 5,
又因aѤ 从故a = 4, b = l.
c II)对二次型f=式— 4X1X2 + 4式和g
= 4贞+4劝Y2 + Yѥ,
只要令｛：；二Ѧ
2
ѧ1 '即[:.:J= [_\
Ѩ] [ѩ:]
Q=[
o
1]是正交矩阵合于所求．
-1
0
【评注】
如求出A的特征向量并单位化构造正交矩阵Qi
= 3s[_\ ],
经X= Q1 z得X TAx = 5叶
类似构造正交矩阵Qz使yTBy= 5云，即x = Q1 z,y = Q2z有z = Q2
1 Y,
从而X = Q1 Q2
1 Y 而得Q = Q1 Q21 亦可．
(21) 【解】c I)因a#-0且a不是A的特征向量．于是Aa#-ka, 从而a与Aa不共线，即a,
Aa线性无关，故P=(a,Aa)可逆．
或（反证法）若P不可逆，有
IP I= I a,Aa I= o
a与Aa成比例，于是Aa= ka. 又a#-0知a 是A的特征向址与已知条件矛盾．
([I) (万法一）
由A飞+ Aa-6a= 0有A 2a = 6a — Aa
AP = A(a,Aa) = (Aa,A 2a) = (Aa, 妞— Aa)
因P可逆，于是
=(a,Aa)[ 0
6
1 _iJ
0
6
P
一!AP= I _}—l
记B = [O
6 l 而IIB-BI=
入
—6
=入2 土
－
1
-1
-1入+ 1
，入
6特征值2,
3. 于是A有2个不同特征值从而A可相似对角化．
（方法二）
因A 2 + A -6E = (A- 2E) (A+ 3E) = (A + 3E) (A -2E),
由A 2a+ Aa — 6a= O, 即(A 2 + A — 6E)a = O,
于是(A - 2E) (A + 3E)a = 0,
即(A — 2E)(Aa 十3a) = O,
即A(Aa 十3a) = 2(Aa 十3a),
• 10 •
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2020年全国硕士研究生招生考试数学（一）参考答案．
由a不是特征向量，有Aa、+ 3a -=I= 0
从而入= 2 是A 的特征值，类似有入=-3 是特征值．下略．
(22) 【解】(l) CX,,Y )的分布函数F(x,y)
F(x,y) = P {X1
x,Y
y} = P{X,
x,X3X1 + ( 1 - X3)X2
y)
= P{X3 = O) P{X,
x,X3X1 + O -X,)X2
y I X3 = 0) +
P{X3 = l) P{X1
x,X,X, +
O-X3)X2
y I X3 = 1}
l
1
=ѪP{X,
x,X2
y I X3 = O} +
- P{X1
x,X,
y I X3 = 1)
2
2
1
1
= - P{X,
x,X2
y} +
- P{X1
x,X1
y)
2
2
1
1
= -P{X,
x) P{X2
y) +
- P{X1
min (x,y)}
2
2
1
1
＝一中釭）趴y) +
-趴min (x ,y))
2
2
C II)Y的分布函数
氏(y)= P{X3X1 + ( 1-X3)X2
y)
= P{X3 = O} P{X3X1 + Cl -X3)Xz
y I X3 = O} 十
P{X1 = l} P{X3X1 + Cl- X3)Xz
y I X3 = 1}
1
1
= -P {X2
y I x3 = 0) +
- P{X,
y I x3 = 1}
2
2
1
1
1
1
=
- P{X2
y} +
- P{X1
y) =
-中(y) +
-趴y)=趴y)
2
2
2
2
Y - N(O,l).
(23) 【解】F(t) = r-
e-C令）"''
o,
t
m-1
'?, O'f (x)Ü F'(x ) Ü厂行）
· 沪
－（令），
t < o,
o,
Cl)P{T>t} = 厂f (t)dt= F(t) += = FC+
心- FCt)=
e-C扩）"',t > 0.
-(宁）,n
P{T> s十t!T>s} = P{T> s十t,T>s} = P{T>s十t}
e
P{T>s}
P{T>寸
－（令）"'
e
= e-C宁）"'+ (令）m
(JI)给定tI'tz' … , t,,'似然函数为
“
“
L (0) = III