--- [第 1 页] ---
一、 填空题
(1) 【答案】 y =x −1
【详解】方法 1：因为直线 x +y =1的斜率k1 − =1，所以与其垂直的直线的斜率k2 满足
1
2
1
k k ，所以
2
1
k
，即
2
1
k
，
曲线
ln
y
x
上与直线
1
y
x
垂直的切线方程的斜率为1 ，即
1
1
)
(ln
x
x
y
，得
1
x
，把
1
x
代入
ln
y
x
，得切点坐标为
)
0,1(
，根据点斜
式公式得所求切线方程为：
)1
(
1
0
x
y
，即
1
x
y
方法2：本题也可先设切点为
)
ln
,
(
0
0
x
x
，曲线
ln
y
x
过此切点的导数为
1
1
0
0
x
y
x
x
，
得
1
0
x
，所以切点为
0
0
(
,ln
)
1,0
x
x
，由此可知所求切线方程为
)1
(
1
0
x
y
，
即
1
x
y
.
(2) 【答案】
2)
(ln
2
1
x
【详解】先求出
)
(x
f
的表达式，再积分即可.
方法1：令
t
e x
，则
t
x
ln
，
1
x
e
t
，于是有
t
t
t
f
ln
)
(
，即
.
ln
)
(
x
x
x
f
两边积分得
2
ln
1
( )
ln
ln
(ln )
2
x
f x
dx
xd
x
x
C
x
.
利用初始条件
(1) (ln1)
0
2
f
C
C
，即
0
C
，故所
求函数为
( )
f x =
2)
(ln
2
1
x
.
方法2：由
ln
x
x
e
，所以
x
x
xe
e
f
)
(
ln
ln
x
x
x
x
e
e
e
e
，所以
.
ln
)
(
x
x
x
f
下同.
(3) 【答案】
2
3
【详解】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.
2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
--- [第 2 页] ---
L 为正向圆周
2
2
2
y
x
在第一象限中的部分，用参数式可表示为
.
2
0
:
,
sin
2
,
cos
2
y
x
于是
2
L xdy
ydx
2
0
2 cos
2 sin
2 2 sin
2 cos
d
d
2
0 [ 2 cos
2 cos
2 2 sin
2 sin ]d
2
2
2
2
2
2
2
0
0
[2cos
4sin
]
[2 cos
sin
2sin
]
d
d
2
2
2
2
2
0
0
0
[2
2sin
]
2
2sin
d
d
d
2
2
0
0
2
1 cos2
d
2
2
2
0
0
0
1
3
1
cos2
2
sin 2
2
2
2
d
3
1
3
3
sin
sin 0
0
2
2
2
2
(4) 【答案】
2
2
1
x
c
x
c
y
【详解】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换
te
x
化为常系数线性齐次微分方程即可.
令
te
x
，有
1
ln , dt
t
x dx
x
，则
1
dy
dy dt
dy
dx
dt dx
x dt
，
2
2
1
d y
d
dy
dx
dx
x dt
2
1
1
dy
d
dy
d uv
vdu
udv
x
dt
x dx
dt
2
1
1
dy
d
dy
dt
x
dt
x dt
dt
dx
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
dy
d y
d y
dy
x
dt
x
dt
x
dt
dt
代入原方程：
2
2
2
2
1
1
4
2
0
d y
dy
dy
x
x
y
x
dt
dt
x dt
，整理得
0
2
3
2
2
y
dt
dy
dt
y
d
，
此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为
2
3
2
0
r
r
，所以特征根为：
1
2
1,
2
r
r
，1
2
r
r
，所以
0
2
3
2
2
y
dt
dy
dt
y
d
的通解为
1
2
2
1
2
1
2
r t
r t
t
t
y
c e
c e
c e
c e
--- [第 3 页] ---
又因为
te
x
，所以
2
2
1
1
,
t
t
e
e
x
x
，代入上式得
2
1
2
1
2
2 . t
t
c
c
y
c e
c e
x
x
(5) 【答案】9
1
【详解】
方法1：已知等式两边同时右乘A ，得
*
*
2
ABA A
BA A
A
，
由伴随矩阵的运算规律：
*
*
A A
AA
A E
，有
2
AB A
B A
A
，而
2
1
0
1
2
0
0
0
1
A
3 3 2
1
( 1)
1
2
2
2 1 1
3
，
于是有
A
B
AB
6
3
，移项、合并有
A
B
E
A
)
6
3
(
，再两边取行列式，由方阵
乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有
(3
6 )
3
6
3
A
E B
A
E B
A
，
而
3
6
A
E
2
1
0
1
0
0
3 1
2
0
6 0
1
0
0
0
1
0
0
1
6
3
0
6
0
0
0
3
0
3
6
0
0
6
0
3
0
0
0
0
3
0
0
6
0
0
3
3 3
0
3
( 1)
( 3)
( 3) 3 3
3
0
27
，
故所求行列式为B
3
3
6
27
A
A
E
1
9
方法2：由题设条件
*
*
2
ABA
BA
E
，得
*
*
2
ABA
BA
*
(
2 )
A
E BA
E
由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行
列式，有
*
*
(
2 )
2
1
A
E BA
A
E B A
E
其中
2
1
0
1
2
0
0
0
1
A
3 3 2
1
( 1)
1
2
2
2 1 1
3
；
由伴随矩阵行列式的公式：若A 是n 阶矩阵，则
1
n
A
A
.
--- [第 4 页] ---
所以，
3 1
2
A
A
A
=9 ；又
0
1
0
2
1
0
0
0
0
1
A
E
1 2 1
0
( 1)
0
1
=1.
故
1
1
9
2
B
A
E A
.
(6) 【答案】e
1
【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.
指数分布的概率密度为
,
0
( )
0
0
x
e
x
f x
x
若
若
，其方差
2
1
DX
.
于是，由一维概率计算公式，
( )
b
X
a
P a
X
b
f
x dx
，有
}
{
DX
X
P
=
dx
e
X
P
x
1
}
1
{
=
1
1
x
e
e
二、 选择题
(7) 【答案】(B)
【详解】
方法1：
2
0
2
2
0
0
0
0
tan
tan
2
lim
lim
lim
0
cos
cos
x
x
x
x
x
tdt
x
x
x
t dt
洛必达
，则是的高阶无穷小，
根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，
又
2
3
2
3
0
0
0
0
0
1
sin
sin
2
lim
lim
lim
2 tan
tan
x
x
x
x
x
x
t dt
x
x
x
tdt
洛必达
2
0
1 lim
4 x
x
x
等价无穷小替换
，
可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).
方法2：用
kx (当
0
x
时)去比较.
2
2
0
1
0
0
0
cos
cos
lim
lim
lim
,
x
k
k
k
x
x
x
t dt
x
x
x
kx
洛
--- [第 5 页] ---
欲使上式极限存在但不为0，应取
1
k
，有
2
2
0
0
0
0
0
0
lim cos
cos
lim
lim
1
lim
x
x
x
x
t
t
x
x
x
，
所以(当
0
x
时)与x 同阶.
2
0
1
1
3
0
0
0
0
0
tan
tan
2
2
2
lim
lim
lim
lim
lim
x
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
tdt
x
x
x
x
x
x
kx
kx
kx
洛
欲使上式极限存在但不为0，应取
3
k
, 有
3
3 2
0
0
0
2tan
2tan
2
lim
lim
lim
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
，
所以(当
0
x
时) 与
3x 同阶.
3
1
3
1
3
2
2
2
2
0
1
1
1
0
0
0
0
0
sin
sin
lim
lim
lim
lim
lim
,
2
2
2
x
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
t dt
x
x
x
x
x
x
x
kx
kx
kx
洛
欲使上式极限存在但不为0，应取
2
k
, 有
2
2 1
0
0
1
lim
lim 2 2
4
x
x
x
x
x
，
所以(当
0
x
时) 与
2x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是
, ,
，选(B).
(8) 【答案】(C)
【详解】函数
( )
f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).
由导数的定义，知
0
)
0
(
)
(
lim
)
0
(
0
x
f
x
f
f
x
根据极限的保号性，知存在
0
，当
)
,0
(
)
0,
(
x
时，有
0
)
0
(
)
(
x
f
x
f
.
即当
)
0,
(
x
时，
0
x
，有
( )
(0) f x
f
；而当
)
,0
(
x
时，
0
x
有
( )
(9) 【答案】(B)
【详解】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可通过反例排除找到正确选项.
方法1：排除法. 取
1
1 ln
1
na
n
n
，则
n
n
na
lim
=0，
又
1
1
1
1 ln
1
1
p
n
p
n
n
p
收敛，当
发散，当
，所以
1
1
1
1 ln
1
n
n
n
a
n
n
发散，排除A，D；
又取
n
n
an
1
，因为p 级数
1
1
1
1
p
n
p
n
p
收敛，当
发散，当
，则级数
1
1
1
n
n
n
a
n n
收
--- [第 6 页] ---
敛，但
2
2
1
lim
lim
lim
n
n
n
n
n a
n
n
n n
，排除(C), 故应选(B).
方法2：证明(B)正确.
lim
0
n
n
na
,即lim 1
n
n
a
n
.因为
1
1
n
n
发散，
由比较判别法的极限形式知，
1
n
n
a
也发散，故应选(B)..
(10) 【答案】(B)
【详解】在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x :
)
(
)
(
)
(
)]
(
[
)
(
)]
(
[
]
)
(
[
x
b
x
a
x
a
x
a
f
x
b
x
b
f
dt
t
f
否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外
或积分线上.
方法1：交换积分次序,使得只有外面这道积分限中才有t ，其他地方不出现t
由
t
t
y
dx
x
f
dy
t
F
1
)
(
)
(
知：1
y
x
t
y
t
，交换积分次序1
1
x
t
y
x
，得
t
t
y
dx
x
f
dy
t
F
1
)
(
)
(
=
t
x
t
dx
x
x
f
dx
dy
x
f
1
1
1
)1
)(
(
]
)
(
[
于是，
)1
)(
(
)
(
t
t
f
t
F
，从而有
)
2
(
)
2
(
f
F
，故应选(B).
方法2：设
( )
( )
x
f x
，于是
1
( )
( )
t
t
y
F t
dy
f x dx
1
1
( )
( )
t
t
t
t
y
y
dy
x dx
dy
d
x
1 [
( )
( )]
t
t
y dy
1
( )(
1)
( )
t
t t
y dy
所以
( )
( )(
1)
( )
( )
( )(
1),
F t
t t
t
t
f t t
所以
(11) 【答案】(D)
【详解】由题设，将A 的第1 列与第2 列交换，即
12
0
1
0
1
0
0
0
0
1
AE
A
B
，
将B 的第2 列加到第3 列，即
--- [第 7 页] ---
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
.
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
B
A
A
AQ
故
0
1
1
1
0
0
0
0
1
Q
，应选(D).
(12) 【答案】(A)
【详解】方法1：由矩阵秩的重要公式：若A 为
n
m
矩阵，B 为n
p
矩阵，如果
0
AB
，
则( )
( )
r A
r B
n
设A 为
n
m
矩阵，B 为
s
n
矩阵，由
0
AB
知，( )
( )
r A
r B
n
，其中n 是
矩阵A 的列数，也是B 的行数
因A 为非零矩阵，故( )
1
r A ，因( )
( )
r A
r B
n
，从而( )
1
r B
n
n
，由向
量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B 的行向量组线性相关.
因B 为非零矩阵，故( )
1
r B ，因( )
( )
r A
r B
n
，从而( )
1
r A
n
n
，由向
量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A 的列向量组线性相关.
故应选(A).
方法2：设A 为
n
m
矩阵，B 为
s
n
矩阵，将B 按列分块，由
0
AB
得，
1
2
,
,
,
0,
0,
1,2,
, .
s
i
AB
A
A
i
s
因B 是非零矩阵，故存在
0
i
，使得
0
i
A
. 即齐次线性方程组
0
Ax
有非
零解. 由齐次线性方程组
0
Ax
有非零解的充要条件( )
r A
n
, 知( )
r A
n
. 所以A
的列向量组线性相关.
又(
)
0
T
T
T
AB
B A
，将
T
A 按列分块，得
1
2
[
,
,
,
]
0,
0,
1,2,
,
.
T
T
T
T
T
T
T
T
m
i
B A
B
B
i
m
因A 是非零矩阵，故存在
0
T
i
，使得
0
T
T
i
B
，即齐次线性方程组
0
Bx
有
非零解. 由齐次线性方程组
0
Bx
有非零解的充要条件，知
T
B 的列向量组线性相关，
由
T
B 是由B 行列互换得到的，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A).
方法3：设
(
)
,
i j
m n
A
a
(
)
i j
n s
B
b
,
将A 按列分块，记
1
2
n
A
A
A
A
--- [第 8 页] ---
由
0
AB
11
12
1
21
22
2
1
2
1
2
s
s
n
n
n
ns
b
b
b
b
b
b
A
A
A
b
b
b
11
1
1
1
1
,
,
0
n
n
s
ns
n
b A
b A
b A
b A
(1) 由于
0
B
, 所以至少有一个
0
ij
b
( 1
,1
i
n
j
s
), 又由(1) 知,
1
1
2
2
0
j
j
i j
i
nj
n
b A
b A
b A
b A
, 所以
1
2
,
,
,
m
A
A
A
线性相关. 即A 的列向
量组线性相关.
(向量组线性相关的定义：如果对m 个向量
1
2
,
,
,
n
m
R
，有m 个不全为零
的数
1
2
,
,
,
m
k k
k
R
，使
1
1
2
2
0
m
m
k
k
k
成立，则称
1
2
,
,
,
m
线性相关.)
又将B 按行分块，记
1
2
n
B
B
B
B
, 同样，
0
AB
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
n
n
m
m
mn
n
a
a
a
B
a
a
a
B
a
a
a
B
11
1
12
2
1
21
1
22
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
m
m
mn
n
a B
a B
a B
a B
a B
a B
a B
a B
a B
0
由于
0
A
,则至少存在一个
0
i j
a
(1
,1
i
m
j
n
), 使
1
1
2
2
0
i
i
i j
j
in
n
a B
a B
a B
a B
,
由向量组线性相关的定义知，
1
2
,
,
,
m
B
B
B
线性相关, 即B 的行向量组线性相关，
故应选(A).
方法4：用排除法.取满足题设条件的
,
A B .
取
0
0
1
0
0
0,
1
0
0
1
0
0
0
1
A
B
，有
0
0
1
0
0
1
0
0,
1
0
0
0
1
AB
A 的行向量组，列向量组均线性相关，但B 的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.
--- [第 9 页] ---
又取
1
1
0
1
0
0,
0
0
0
0
0
1
0
0
A
B
，有
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
AB
，
A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性相关，故(C)不成立.
由排除法知应选(A).
(13) 【答案】C
【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何
0
x
有
1
2
P X
x
P X
x
P X
x
.或直接利用图形求解.
方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，
}
{
u
X
P
，于是
}
{
2
}
{
}
{
}
{
}
{
1
1
x
X
P
x
X
P
x
X
P
x
X
P
x
X
P
即有
2
1
}
{
x
X
P
，可见根据分位点的定义有
2
1
u
x
，故应选(C).
方法2：
O
x
y
( )
f x
P X
u
图1
图2
如图1 所示题设条件. 图2 显示中间阴影部分面积，{
}
P X
x
.两端各余面积
1
2
，所以
1
2
{
}
P X
u
，答案应选(C).
(14) 【答案】A.
【详解】由于随机变量
)1
(
,
,
,
2
1
n
X
X
X
n
独立同分布，所以必有：
2,
(
,
)
0,
i
j
i
j
Cov X
X
i
j
又
2
2
2
1
1
1
(
)
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
D
a X
a D X
a
O
x
y
P X
x
1
2
( )
f x
--- [第 10 页] ---
下面求
1
(
, )
Cov X Y 和
1
(
)
D X
Y
.
而
1
1
,
n
i
i
Y
X
n
故本题的关键是将Y 中的
1
X 分离出来，再用独立性来计算.
对于选项(A)：
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
(
, )
(
,
)
(
,
)
(
,
)
n
n
i
i
i
i
Cov X Y
Cov X
X
Cov X X
Cov X X
n
n
n
1
1 DX
n
2
1
n
所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算. 可以看本题(C),(D)选项.
因为X 与Y 独立时，有
(
)
D X
Y
D X
D Y
. 所以，这两个选项的方差也可直
接计算得到：
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
(1
)
1
(
)
(
)
n
n
n
n
D X
Y
D
X
X
X
n
n
n
n
n
=
2
2
2
2
3
3
n
n
n
n
n
，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
)1
(
)
1
1
1
(
)
(
n
n
n
n
X
n
X
n
X
n
n
D
Y
X
D
n
=
.
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
所以本题选(A)
三、 解答题
(15) 【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单
调性证明.
方法1：因为函数
2
ln
f x
x
在
2
[ , ]
,
a b
e e
上连续，且在
,a b 内可导，所以满足拉
格朗日中值定理的条件，
对函数
2
ln
f x
x
在[ , ]
a b 上应用拉格朗日中值定理，得
2
2
2
2
2ln
ln
ln
ln
,
b
a
b
a
b
a
e
a
b
e
下证：
2
2ln
4
e
.
设
t
t
t
ln
)
(
，则
2
ln
1
)
(
t
t
t
，当t
e
时，1 ln
1 ln
0
t
e
，即
,0
)
(
t
所以
)
(t
单调减少，又因为
2e
，所以
)
(
)
(
2
e
，即
--- [第 11 页] ---
2
2
2
2
ln
ln
e
e
e
，得
2
2ln
4
e
故
)
(
4
ln
ln
2
2
2
a
b
e
a
b
.
方法2：利用单调性，设
x
e
x
x
2
2
4
ln
)
(
，证( )
x
在区间
2
,e e
内严格单调增即可.
2
4
ln
2
)
(
e
x
x
x
，(
2
2
2
2
2
2
ln
4
4
4
(
)
2
0
e
e
e
e
e
e
，)
2
ln
1
2
)
(
x
x
x
,
当x
e
时，1
ln
1 ln
0
x
e
，
,0
)
(
x
故
)
(x
单调减少，从而当
2
e
x
e
时，
2
( )
(
)
0
x
e
，即当
2
e
x
e
时，
)
(x
单调增加.
因此当
2
e
x
e
时，
)
(
)
(
a
b
，即
a
e
a
b
e
b
2
2
2
2
4
ln
4
ln
，
故
)
(
4
ln
ln
2
2
2
a
b
e
a
b
.
方法3：设
2
2
2
4
( )
ln
ln
(
)
x
x
a
x
a
e
, 则
2
ln
4
( )
2
x
x
x
e
，
2
1
ln
( )
2
x
x
x
,
x
e
时, 1
ln
1 ln
0
x
e
，得
( )
0
x
，
( )
x
在
2
( ,
)
e e
上单调减少, 从而当
2
e
x
e
时,
2
2
2
4
4
( )
(
)
0
x
e
e
e
，
( )
x
在
2
( ,
)
e e
上单调增加. 从而当
2
e
a
x
b
e
时,
( )
( )
0
x
a
.
( )
0
b
，即
2
2
2
4
ln
ln
(
)
b
a
b
a
e
.
(16) 【详解】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.
方法1：由题设，飞机质量
9000
m
kg
，着陆时的水平速度
h
km
v
/
700
0
. 从飞机接触
跑道开始计时，设t 时刻飞机的滑行距离为( )
x t ，速度为( )
v t ，则
0
)
0
(
,
)
0
(
0
x
v
v
.
根据牛顿第二定律，得
kv
dt
dv
m
. 又
dx
dv
v
dt
dx
dx
dv
dt
dv
.
由以上两式得
dv
k
m
dx
，积分得
.
)
(
C
v
k
m
t
x
由于
0
)
0
(
,
)
0
(
0
x
v
v
，所以
0
0. m
x
v
C
k
故得
0v
k
m
C
，
从而
)).
(
(
)
(
0
t
v
v
k
m
t
x
当
0
)
(
t
v
时，
).
(
05
.1
10
0. 6
700
9000
)
(
6
0
km
k
mv
t
x
--- [第 12 页] ---
所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.
方法2：根据牛顿第二定律，得
kv
dt
dv
m
,
分离变量：dv
k dt
v
m
，两端积分得：
1
ln
k
v
t
C
m
，
通解：
t
m
k
Ce
v
，代入初始条件
0
0
v
v
t
，解得
0v
C
，故
.
)
(
0
t
m
k
e
v
t
v
飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到
0
v
，对应地t . 于是由
dx
vdt
，有
0
0
0
0
0
0
( )
1. 05(
).
k
k
t
t
m
m
mv
mv
x
v t dt
v e
dt
e
km
k
k
或由
0
k t
m
dx
v t
v e
dt
，知
)1
(
)
(
0
0
0
t
m
k
t
t
m
k
e
m
kv
dt
e
v
t
x
，故最长距离为
当
t
时，
).
(
05
.1
)
(
0
km
m
kv
t
x
方法3：由
kv
dt
dv
m
，
dx
v
dt
，化为x 对t 的求导，得
dt
dx
k
dt
x
d
m
2
2
, 变形为
0
2
2
dt
dx
m
k
dt
x
d
，
0
(0) , (0)
0
v
x
v x
其特征方程为
0
2
m
k
，解之得
m
k
2
1
,0
，故
.
2
1
t
m
k
e
C
C
x
由
2
0
0
0
0
0
0,
k t
m
t
t
t
t
kC
dx
x
v
e
v
dt
m
，得
,
0
2
1
k
mv
C
C
于是
).
1(
)
(
0
t
m
k
e
k
mv
t
x
当
t
时，
).
(
05
.1
)
(
0
km
k
mv
t
x
所以，飞机滑行的最长距离为1.05km .
(17) 【详解】这是常规题，加、减曲面片高斯公式法，转换投影法，逐个投影法都可用.
方法1：加、减曲面片高斯公式. 取
1
为xoy 平面上被圆
1
2
2
y
x
所围部分的下侧，记
为由与
1
围成的空间闭区域，则
dxdy
z
dzdx
y
dydz
x
I
1
)1
(
3
2
2
2
3
3
--- [第 13 页] ---
1
3
3
2
1
2
2
2
3(
1)
x dydz
y dzdx
z
dxdy
I
I
由高斯公式：设空间闭区域是由分段光滑的闭曲面所围成，函数
, ,
,
, ,
,
, ,
P x y z
Q x y z
R x y z 在上具有一阶连续偏导数，则有
P
Q
R
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
dv
x
y
z
这里
3
3
2
2
,
2
,
3(
1)
P
x
Q
y
R
z
，
2
2
2
6
,
6
,
6
P
Q
R
x
y
z
x
y
z
，
所以
2
2
1
6(
)
I
x
y
z dv
利用柱面坐标：
cos
sin
, 0
1, 0
2 ,
x
r
y
r
r
dv
rdrd dz
z
z
，有：
2
2
1
6(
)
I
x
y
z dxdydz
=
rdz
r
z
dr
d
r
)
(
6
2
0
1
0
1
0
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
3
2
0
0
0
1
12
12
1
2
2
r
r
z
r
r z
dr
r
r
r
dr
1
3
2
4
6
0
1
1
12
4
3
4
6
r
r
r
1
12
2
6
记D 为
1
在xoy 平面上的投影域
2
2
,
1
D
x y x
y
，则
0
z
，
0
dz
，
又
1
为
2
2
0(
1)
z
x
y
的下侧，从而：
1
3
3
2
2
2
2
3(
1)
3 0 1
D
I
x dydz
y dzdx
z
dxdy
dxdy
3
3
D
dxdy
(其中
D
dxdy
为半径为1 圆的面积，所以
11
D
dxdy
)
故
1
2
2
3
. I
I
I
方法2：用转换投影法：若
,
z
z x y
，z 对,x y
具有一阶连续偏导数，则
,
z
z
dzdx
dxdy
dydz
dxdy
x
y
.
曲面
2
2
2
2
1 :
1
,(
1),
2 ,
2
z
z
z
x
y
x
y
x
y
x
y
，由转换投影公式
--- [第 14 页] ---
3
3
2
2
2
3(
1)
I
x dydz
y dzdx
z
dxdy
3
3
2
[2
(
)
2
(
)
3(
1)]
z
z
x
y
z
dxdy
x
y
4
4
2
2
2
[4
4
3(1
)
3]
D
x
y
x
y
dxdy
利用极坐标变换：
cos , 0
1, 0
2 ,
sin
x
r
r
dxdy
rdrd
y
r
，所以
2
1
4
4
4
4
2
2
0
0[4
cos
4
sin
3(1
)
3]
I
d
r
r
r
rdr
2
1
5
4
5
4
5
3
0
0[4
cos
4
sin
3(
2
)]
d
r
r
r
r
dr
2
4
4
0
4
4
1
3
( cos
sin
)
6
6
2
2 d
2
2
2
2
2
2
2
0
0
4
cos
sin
2cos
sin
6
d
d
2
2
2
0
4 1 2cos
sin
2
6
d
2
2
2
2
0
0
4
1
cos
sin 2
2
6
3
d
d
2
0
4
1
1 cos4
2
3
6
d
2
2
0
0
4
1
1
2
cos4
sin 4
3
3
6
24
d
0
或
2
4
4
0
4
4
( cos
sin
)
6
6
d
直接利用公式
4
4
2
2
0
0
3 1
cos
sin
4 2 2
d
d
及
2
2
4
4
4
4
2
2
0
0
0
0
cos
4
cos
4
sin
sin
d
d
d
d
则
2
4
4
0
4
4
4 3 1
( cos
sin
)
2 4
6
6
6 4 2 2
d
所以，原式
2
(18) 【分析】利用零点定理证明存在性，利用单调性证明惟一性. 而正项级数的敛散性可用
比较法判定.
零点定理：设函数
f x 在闭区间
,a b
上连续，且
0
f a
f b
，那么在开区间
,a b
内至少存在一点，使
0
f
；单调性：设函数
f x 在闭区间
,a b
上连续，在
,a b
内可导，如果在
,a b
内
0
f
x
，那么函数
f x 在
,a b
上单调增加；比较审敛
--- [第 15 页] ---
法：设
1
n
n
u
和
1
n
n
v
都是正项级数，且
n
n
u
v
，若级数
1
n
n
v
收敛，则级数
1
n
n
u
收敛.
【证明】记
( )
1
n
nf
x
x
nx
，则
( )
nf
x
是连续函数，由
0
1
)
0
(
nf
，
0
)1(
n
f n
，对照连续函数的零点定理知，方程
0
1
nx
x n
存在正实数根
).
1,0
(
nx
当
0
x
时，
0
)
(
1
n
nx
x
f
n
n
，可见
)
(x
f n
在
)
,0
[
上单调增加, 故方程
0
1
nx
x n
存在惟一正实数根
.
nx
由
0
1
nx
x n
与
0
nx
知
n
n
x
x
n
n
n
1
1
0
，故当
1
时，函数y
x
单调
增，所以
)
1
(
0
n
xn
. 而正项级数
1
1
n
n收敛，所以当
1
时，级数
1
n
nx收敛.
(19) 【分析】根据极值点存在的充分条件：
设函数
( , )
z
f x y
在点
0
0
,
x
y
的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又
0
0
0
0
(
,
)
0,
(
,
)
0
x
y
f
x
y
f
x
y
，令
0
0
0
0
0
0
(
,
)
,
(
,
)
,
(
,
)
xx
xy
yy
f
x
y
A f
x
y
B f
x
y
C
，则
( , )
z
f x y
在
0
0
,
x
y
处是否取得极值的条件如下：
(1) 2
0
AC
B
时具有极值，且当
0
A
时有极大值，当
0
A
时有极小值；
(3) 2
0
AC
B
时，可能有极值，也可能没有极值，需另外讨论.
所以对照极值点存在的充分性定理，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点，接下来
求函数二阶偏导，确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.
求二元隐函数的极值与求二元显函数的极值的有关定理是一样，差异仅在于求驻点及极
值的充分条件时，用到隐函数求偏导数.
【详解】因为
0
18
2
10
6
2
2
2
z
yz
y
xy
x
，所以
两边对x 求导：
0
2
2
6
2
x
z
z
x
z
y
y
x
，
①
两边对y 求导：
0
2
2
2
20
6
y
z
z
y
z
y
z
y
x
.
②
--- [第 16 页] ---
根据极值点存在的充分条件，令
0
0
z
x
z
y
，得
3
0
3
10
0
x
y
x
y
z
，故
.
,
3
y
z
y
x
将上式代入
0
18
2
10
6
2
2
2
z
yz
y
xy
x
，可得
3
,3
,9
z
y
x
或
.3
,3
,9
z
y
x
对照极值点存在的充分条件，为判别两点是否为极值点，再①分别对,x y 求偏导数，②
分别对,x y 求偏导数
①式对x 求导：
0
2
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
x
z
z
x
z
x
z
y
，
②式对x 求导：
,0
2
2
2
2
6
2
2
y
x
z
z
x
z
y
z
y
x
z
y
x
z
①式对y 求导：
,0
2
2
2
2
6
2
2
y
x
z
z
x
z
y
z
y
x
z
y
x
z
②式对y 求导：
0
2
)
(
2
2
2
2
20
2
2
2
2
2
y
z
z
y
z
y
z
y
y
z
y
z
，
将
3
,3
,9
z
y
x
0
,0
y
z
x
z
代入，于是
6
1
)
3,3,9
(
2
2
x
z
A
，
2
1
)
3,3,9
(
2
y
x
z
B
，
3
5
)
3,3,9
(
2
2
y
z
C
，故
0
36
1
2
B
AC
，又
0
6
1
A
，从而点(9,3)是( , )
z x y 的极小
值点，极小值为(9,3)
3
z
.
类似地，将
.3
,3
,9
z
y
x
0
,0
y
z
x
z
代入，于是
2
2
( 9, 3, 3)
1
6
z
A
x
，
2
( 9, 3, 3)
1
2
z
B
x y
，
2
2
( 9, 3, 3)
5
3
z
C
y
，可知
0
36
1
2
B
AC
，
又
0
6
1
A
，从而点(-9, -3)是( , )
z x y 的极大值点，极大值为( 9, 3)
3
z
.
--- [第 17 页] ---
(20) 【详解】
方法1：对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有
1
1
1
1
2
2
2
2
a
a
A
n
n
n
n
a
1
(
)
(
2,
)
i
i
i
n
行
行
1
1
1
1
2
0
0
0
0
a
a
a
B
na
a
对|
|
B 是否为零进行讨论：
当
0
a
时，( )
1
r A
n
，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是m n
矩
阵，齐次方程组
0
Ax
有非零解的充要条件是( )
r A
n
. 故此方程组有非零解，把
0
a
代入原方程组，得其同解方程组为
,0
2
1
nx
x
x
( )
此时，( )
1
r A ，故方程组有
1
n
r
n
个自由未知量. 选
2
3
,
,
,
n
x x
x
为自由未
知量，将他们的
1
n 组值(1,0,
,0),(0,1,
,0),
,(0,0,
,1)
分别代入( )
式，得基
础解系
,
)
0,
,0,1,1
(
1
T
,
)
0,
,1,0,1
(
2
T
,
)1,
,0,0,1
(
,
1
T
n
于是方程组的通解为
,
1
1
1
1
n
n
k
k
x
其中
1
1
,
,
n
k
k
为任意常数.
当
0
a
时，对矩阵B 作初等行变换，有
1
1
1
1
2
1
0
0
0
0
1
a
B
n
( 1) 1
2,3
i
i
n
行
(
)
(
1)
0
0
0
2
2
1
0
0
0
0
1
n n
a
n
，
可知
2
)1
(
n
n
a
时，
n
n
A
r
1
)
(
，由齐次方程组有非零解的判别定理, 知方程
组也有非零解，把
2
)1
(
n
n
a
代入原方程组，其同解方程组为
,0
,0
3
,0
2
1
3
1
2
1
nx
nx
x
x
x
x
此时，( )
1
r A
n
，故方程组有
(
1)
1
n
r
n
n
个自由未知量.选
2x 为自由
未量，取
2
1
x
，由此得基础解系为
T
n)
,
,2,1(
，于是方程组的通解为
k
x
，
--- [第 18 页] ---
其中k 为任意常数.
方法2：计算方程组的系数行列式：
1
1
1
1
2
2
2
2
a
a
A
n
n
n
n
a
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
a
a
a
n
n
n
n
矩阵加法
aE
+
n
n
n
n
2
2
2
2
1
1
1
1
aE
Q
，
下面求矩阵Q 的特征值：
1
1
1
1
2
2
2
2
E
Q
n
n
n
n
1
1
1
1
2
0
0
1
(- )
(
2,3,
, )
0
0
i
i
i
n
n
行
行
(
1)
1
1
1
2
( ) 1
0
0
0
(
2,3,
, )
0
0
0
n n
i
i
i
n
列
列
1
(
1)
2
n
n n
则Q 的特征值
2
)1
(
,0,
,0
n
n
，由性质：若Ax
x
，则(
)
(
) ,
m
m
kA x
k
x A x
x
，
因此对任意多项式
( )
f x ，
( )
( )
f A x
f
x
，即
( )
f 是
( )
f A 的特征值.
故，A 的特征值为
(
1)
, ,
,
2
n n
a a
a
, 由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得
A 行列式
.
)
2
)1
(
(
1
n
a
n
n
a
A
由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是n 阶矩阵，齐次方程组
0
Ax
有非零
解的充要条件是
0
A
. 可知，当
0
A
，即
0
a
或
2
)1
(
n
n
a
时，方程组有非
零解.
当
0
a
时，对系数矩阵A 作初等行变换，有
1
1
1
1
2
2
2
2
A
n
n
n
n
1
)
(
2,
)
i
i
i
n
行（
行
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
，.
故方程组的同解方程组为
--- [第 19 页] ---
,0
2
1
nx
x
x
此时，( )
1
r A ，故方程组有
1
n
r
n
个自由未知量.选
2
3
,
,
,
n
x x
x
为自由未
知量，将他们的
1
n 组值(1,0,
,0),(0,1,
,0),
,(0,0,
,1)
分别代入( )
式，由此
得基础解系为
,
)
0,
,0,1,1
(
1
T
,
)
0,
,1,0,1
(
2
T
,
)1,
,0,0,1
(
,
1
T
n
于是方程组的通解为
,
1
1
1
1
n
n
k
k
x
其中
1
1
,
,
n
k
k
为任意常数.
当
2
)1
(
n
n
a
时，
1
1
1
1
2
1
0
0
0
0
1
a
B
n
( 1) 1
(
2,3
)
i
i
n
行
(
1)
0
0
0
2
2
1
0
0
0
0
1
n n
a
n
，
即
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
1
n
，其同解方程组为
,0
,0
3
,0
2
1
3
1
2
1
nx
nx
x
x
x
x
此时，( )
1
r A
n
，故方程组有
(
1)
1
n
r
n
n
个自由未知量. 选
2x 为自由未量，
取
2
1
x
，由此得基础解系为
T
n)
,
,2,1(
，于是方程组的通解为
k
x
，其中k 为
任意常数.
(21) 【详解】A 的特征多项式为
1
2
3
1
4
3
1
5
E
A
a
2
(
2)
0
2
1
1
1
4
3
1
5
a
行（
）行
1
1
0
1
(
2) 1
4
3
1
5
a
提出行公因数
1
1
0
1
( 1) 2
(
2) 0
3
3
1
5
a
行
行
1
1
0
1
2
(
2) 0
3
3
0
1
5
a
行
行
3
3
(
2)
1
5
a
(
2)[(
3)(
5)
3(
1)]
a
2
(
2)(
8
18
3 ).
a
--- [第 20 页] ---
已知A 有一个二重特征值，有两种情况，(1)
2
就是二重特征值，(2)若
2
不是
二重根，则
2
8
18
3a
是一个完全平方
(1) 若
2
是特征方程的二重根，则有
,0
3
18
16
22
a
解得
2
a . 由
E
A
2
(
2)(
8
18 3 ( 2))
2
(
2)(
8
12)
2
(
2) (
6)
0
求得A 的特征值为2,2,6, 由
1
2
3
2
1
2
3
1
2
3
E
A
1
2
3
1
(-1)
2
, 0
0
0
1
1
3
0
0
0
行
倍加到行
行的倍加到行
，
知
2
1
E
A
秩
，故
2
对应的线性无关的特征向量的个数为
3 1
2
n
r
，等于
2
的重数. 由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征
向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 从而A 可相似对角化.
(2) 若
2
不是特征方程的二重根，则
a
3
18
8
2
为完全平方，从而
18
3
16
a
，解得
.
3
2
a
当
3
2
a
时，由
E
A
2
2
(
2)(
8
18 3 (
))
3
2
(
2)(
8
16)
2
(
2)(
4)
0
知A 的特征值为2，4，4，由
3
2
3
4
1
0
3
2
1
1
3
E
A
1
1
3
3
行
行
3
2
3
1
0
3
0
0
0
知
4
2
E
A
秩
，故
4
对应的线性无关的特征向量有
3
2
1
n
r
, 不等于
4
的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量
的个数恰好等于该特征值的重根数, 知A 不可相似对角化.
(22) 【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强. 通过随机事件定义随
机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命
题方式值得注意.
先确定(
, )
X Y 的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件
的运算性质得到，即得二维随机变量(
, )
X Y 的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概
率分布，进而可计算出相关系数.
【详解】(I) 由于
1
(
)
( ) (
|
)
12
P AB
P A P B A
，所以
,
6
1
)
(
)
(
)
(
B
A
P
AB
P
B
P
--- [第 21 页] ---
利用条件概率公式和事件间简单的运算关系，有
12
1
)
(
}
1
,1
{
AB
P
Y
X
P
，
6
1
)
(
)
(
)
(
}
0
,1
{
AB
P
A
P
B
A
P
Y
X
P
，
,
12
1
)
(
)
(
)
(
}
1
,0
{
AB
P
B
P
B
A
P
Y
X
P
)
(
1
)
(
}
0
,0
{
B
A
P
B
A
P
Y
X
P
2
1
( )
( )
(
)
3
P A
P B
P AB
(或
3
2
12
1
6
1
12
1
1
}
0
,0
{
Y
X
P
)，故(
, )
X Y 的概率分布为
Y
X
0
1
0
3
2
12
1
1
6
1
12
1
(II)
,
X Y 的概率分布分别为
2
1
3
{
0}
{
0,
1}
{
0,
0}
,
3
12
4
P X
P X
Y
P X
Y
1
1
1
{
1}
{
1,
1}
{
1,
0}
,
6
12
4
P X
P X
Y
P X
Y
1
1
1
{
1}
{
0,
1}
{
1,
1}
,
12
12
6
P Y
P X
Y
P X
Y
2
1
5
{
0}
{
0,
0}
{
1,
0}
.
3
6
6
P Y
P X
Y
P X
Y
所以
,
X Y 的概率分布为
X
0
1
Y
0
1
P
4
3
4
1
P
6
5
6
1
由0 1
分布的数学期望和方差公式，则
6
1
,
4
1
EY
EX
，
1
3
3
4
4
16
DX
，
1
5
6
6
DY
5
36
,
(
)
0
0
1
1
1,
1
E XY
P XY
P XY
P X
Y
1
12
,
故
24
1
)
(
)
,
(
EY
EX
XY
E
Y
X
Cov
，从而
.
15
15
)
,
(
DY
DX
Y
X
Cov
XY
(23) 【分析】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的
--- [第 22 页] ---
准确性.先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行
讨论即可. 似然函数的定义：
1
2
1
( )
( ,
,
,
; )
( ; )
n
n
i
i
L
f x x
x
f x
【详解】X 的概率密度为
1
1,
,
( ;
)
1. 0,
x
f x
x
x
(I) 矩估计. 由数学期望的定义：
1
)
;
(
1
1
dx
x
x
dx
x
xf
EX
，
用样本均值估计期望有EX
X
，
令
X
1
，解得
1
X
X
，所以参数的矩估计量为
.
1
ˆ
X
X
其中
1
1
n
i
i
X
X
n
(II) 最大似然估计. 设
1
2
,
,...,
n
x x
x 是相应于样本
1
2
,
,...,
n
X
X
X 的一组观测值，则似然
函数为：
其他
,0
),
,
,2,1
(1
,
)
(
)
;
(
)
(
1
2
1
1
n
i
x
x
x
x
x
f
L
i
n
n
n
i
i
当
)
,
,2,1
(1
n
i
xi
时，
0
)
(
L
，( )
L 与ln ( )
L 在相同的点取得最大值；
所以等式两边取自然对数，得
1
ln ( )
ln
(
1)
ln
n
i
i
L
n
x
，
两边对求导，得
n
i
ix
n
d
L
d
1
ln
)
(
ln
，
令
0
)
(
ln
d
L
d
，可得
n
i
ix
n
1
ln
，
解得的最大似然估计值为：
1
ln
n
i
i
n
x