--- [第 1 页] ---
一、 填空题
(1) 【答案】
2
2
0
y
y
y
.
【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程
0
y
py
qy
的通解为
1
2
(
sin
cos
)
x
y
e
c
x
c
x
时，则特征方程
2
0
r
pr
q
对应的两个根为一对共轭复
根：
1,2
i
，所以根据题设
1
2
(
sin
cos )
x
y
e c
x
c
x
(
1
2
,
c c 为任意常数)为某二阶常
系数线性齐次微分方程的通解，知：
1,
1
，特征根为
1,2
i
1
,i
从而对应
的特征方程为：
2
(1
)
(1
)
2
2
0,
i
i
于是所求二阶常系数线性齐次
微分方程为
2
2
0
y
y
y
.
(2) 【答案】2.
3
【分析】若
, ,
r x y z 具有连续的一阶偏导数，梯度gradr 在直角坐标中的计算公式为：
r
r
r
gradr
i
j
k
x
y
z
设
, ,
, ,
, ,
, ,
A x y z
P x y z i
Q x y z j
R x y z k
，其中
,
,
P Q R 具有一阶连续偏
导数，散度divA在直角坐标中的计算公式为：
P
Q
R
divA
x
y
z
若
, ,
r x y z 具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：
2
2
2
2
2
2
(
)
r
r
r
div gradr
x
y
z
【详解】本题实际上是计算
2
2
2
2
2
2
r
r
r
x
y
z
r
x
2
2
2
x
y
z
x
2
2
2
2
2
x
x
y
z
2
2
2
x
x
y
z
x
r
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
--- [第 2 页] ---
2
2
r
x
x
x
r
2
r
r
x x
r
2
x
r
x
r
x
r
x
r
r
2
2
3
r
x
r
类似可得
r
y
y
r
，
2
2
r
y
2
2
3
r
y
r
；r
z
z
r
，
2
2
r
z
2
2
3
r
z
r
根据定义有
(
)
div gradr
2
2
2
2
2
2
r
r
r
x
y
z
2
2
2
2
2
2
3
3
3
r
x
r
y
r
z
r
r
r
2
2
2
2
3
3r
x
y
z
r
2
2
3
3r
r
r
2
3
2r
r
2
r
2
2
2
2
x
y
z
于是
(1, 2,2)
(
) |
div gradr
2
2
2
1, 2,2
2
x
y
z
2
2
2
2
2
3
1
( 2)
2
(3) 【答案】
2
1
1
0
( , )
.
x
dx
f x y dy
【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，
如图阴影部分. 但在1
0
y
内，2
1
y
，
题设的二次积分并不是
( , )
f x y 在某区域上的二重积分，
因此，应先将题设给的二次积分变形为：
0
1
0
2
1
2
1
1
( , )
( , )
,
y
y
dy
f x y dx
dy
f x y dx
其中
( , )
1
0,1
2 ,
D
x y
y
y
x
再由图所示，又可将D 改写为
( , ) 1
2,1
0 ,
D
x y
x
x
y
于是
0
1
1
2
( , )
y
dy
f x y dx
0
2
1
1
( , )
y
dy
f x y dx
2
0
1
1
( , )
x
dx
f x y dy
2
1
1
0
( , )
.
x
dx
f x y dy
(4) 【答案】1 (
2 ).
2 A
E
【详解】要求(
)
A
E
的逆，应努力把题中所给条件化成(
)
A
E B
E
的形式.
由题设
2
4
0
A
A
E
2
2
2
A
A
E
E
2
2
A
E
A
E
E
O
x
y
x+y=1
x=2
1
--- [第 3 页] ---
即
1
2
,
2
A
E
A
E
E
故
1
1
2
2
A
E
A
E
.
(5) 【答案】1 2
【分析】切比雪夫不等式：
2
(
)
(
)
D X
P X
E X
【详解】根据切比雪夫不等式有
2
2
(
)
2
1
(
)
2
2
2
2
D X
P X
E X
二、 选择题
(1) 【答案】(D)
【详解】从题设图形可见，在y 轴的左侧，曲线
( )
y
f x
是
严格单调增加的，因此当
0
x
时，一定有
'( )
0
f
x
，对应
( )
y
f
x
图形必在x 轴的上方，由此可排除(A)，(C)；
又
( )
y
f x
的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增，所以在这一段内一定有
'( )
0
f
x
，对应
( )
y
f
x
图形必在x 轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).
(2) 【答案】(C)
【详解】题目仅设函数
( , )
f x y 在点(0,0) 附近有定义及
'
'
(0,0)
3,
(0,0)
1,
x
y
f
f
未设
( , )
f x y 在点(0,0) 可微，也没设
( , )
z
f x y
，所以谈不上dz ，因此可立即排除(A)；
令
( , , )
( , )
F x y z
z
f x y
，则有
'
'
'
'
'
,
,
1
x
x
y
y
z
F
f
F
f
F
. 因此过点(0,0,
(0,0))
f
的法向量为
'
'
'
,
,
x
y
z
F F F
'
'
,
,1
x
y
f
f
±{−3,−1,1} ，可排除(B)；
--- [第 4 页] ---
曲线
( , )
0
z
f x y
y
可表示为参数形式：
0
,
( ,0)
x
x
y
z
f x
点(0,0,
(0,0))
f
的切向量为
'
1,0,
(0,0)
1,0,3
xf
. 故正确选项为(C).
(3) 【答案】(B)
【详解】方法1：因为
0
0
0
1
( )
( )
lim
(1
) 1
lim
lim
ln(1
)
ln(1
)
h
h
h
x
x
f x
f x
x
f
e
e
x
h
x
x
x
0
( )
ln(1
)
lim
x
f x
x
x
x
x
x
0
0
( )
0
( )
lim
0
lim
0
x
x
f x
f
f x
f
x
x
0
f
可见，若
( )
f x 在点
0
x
可导，则极限
0
1
lim
(1
)
h
h
f
e
h
一定存在；反过来也成立.
方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.
比如，
( )
f x
x
, 在
0
x
处不可导，但
2
2
2
0
0
0
1 cos
1
1 cos
lim
(1 cos )
lim
lim
h
h
h
h
h
f
h
h
h
h
2
2
0
1
2sin
2
lim
h
h
h
2
2
0
1
1
1
2
sin
lim
2
2
h
h
h
h
h
1
2
，故排除(A)
2
2
0
0
sin
1
lim
(
sin )
lim
h
h
h
h
f h
h
h
h
3
0
sin
lim
h
h
h
h
h
其中，
3
0
sin
lim
h
h
h
h
3
0
sin
lim
h
h
h
h
2
0
1 cos
lim
3
h
h
h
洛
2
2
0
1
2sin
2
lim
3
h
h
h
2
2
0
1
2
lim 3
h
h
h
等
1
6
根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以
3
0
sinh
lim
0
h
h
h
h
.故排除(C).
又如
1,
0
( )
0,
0
x
f x
x
在
0
x
处不可导，但
0
0
1
1 1
lim
(2 )
( )
lim
0
h
h
f
h
f h
h
h
存在，
进一步可排除(D).
--- [第 5 页] ---
(4) 【答案】(A)
【详解】方法1：因为A 是实对称矩阵，必相似于对角阵.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
E
A
4
4
4
4
2,3,4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
行分
别加到行
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
4)
1
1
1
1
4
1
1
1
1
行提出公
因子(
)
1
1
1
1
1
0
0
0
(
4) 0
0
0
0
0
0
行分别加
到2,3,4行
3
4
(
)=0
得A 的特征值为：
1
2
3
4
4,
0,
故必存在正交矩阵Q , 使得
1
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
T
Q AQ
Q AQ
因此，A
B
与
相似.由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A
B
与
合同的充要条件是
A
B
与
相似. 因此，A
B
与
也合同. 即A
B
与
既合同且相似.应选(A).
方法2：因为A 是实对称矩阵，故A 必相似于一对角阵. 又由相似矩阵有相同的特征值,
相同的秩, 知A 与有相同的秩，故( )
( )
1,
r
r A
即对角线上有3 个元素为零.
因此,
1
2
3
0
是A 的特征值.
求另一个特征值，由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和，知
4
4
4
1
1
4. i
ii
i
i
a
故，
4
4
.
即A 有特征值
4
0
和
(三重根)，和对角阵B 的特征值完全一致，故A , B 相
似.又由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A
B
与
合同的充要条件是A
B
与
相似. 知
A , B 合同.
(5) 【答案】A
【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X
Y
n
，从而Y
n
X
，
--- [第 6 页] ---
故
(
)
DY
D n
X
DX
由方差的定义：
2
2
(
)
DX
EX
EX
, 所以
2
2
(
)
(
)
(
)
DY
D n
X
E n
X
E n
X
2
2
2
(
2
)
(
)
E n
nX
X
n
EX
2
2
2
2
2
2
(
)
n
nEX
EX
n
nEX
EX
2
2
(
)
EX
EX
DX
)
由协方差的性质：cov(
, )
0
X c
(c 为常数)；cov(
,
)
cov(
, )
aX bY
ab
X Y
1
2
1
2
cov(
, )
cov(
, )
cov(
, )
X
X
Y
X Y
X
Y
)
所以
cov(
, )
cov(
,
)
cov(
, )
cov(
,
)
0
X Y
X n
X
X n
X X
DX
DX
由相关系数的定义，得
cov(
, )
(
, )
1
X Y
DX
X Y
DX
DY
DX
DX
三【详解】
2
arctan
x
x
e dx
e
2 arctan
x
x
e
e dx
2
1
arctan
2
2
x
x
e
e d
x
2
1 arctan
2
x
x
e d e
2
2
1
arctan
arctan
2
x
x
x
x
e
e
e
d
e
分部
2
2
2
1
arctan
2
(1
)
x
x
x
x
x
de
e
e
e
e
2
2
2
1
1
1
arctan
2
1
x
x
x
x
x
e
e
de
e
e
2
2
2
1
1
arctan
2
1
x
x
x
x
x
x
e
e
e
de
de
e
2
1
arctan
arctan
2
x
x
x
x
e
e
e
e
C
四【详解】由题设，
( )
d
x
dx
( ,
( , ))
d
f x f x x
dx
1
2
( ,
( , ))
( ,
( , ))
( , )
f x f x x
f
x f x x
f x x
1
2
1
2
( ,
( , ))
( ,
( , ))
( , )
( , )
f x f x x
f
x f x x
f
x x
f
x x
这里
1
f
f
x
，
2
f
f
y
，
--- [第 7 页] ---
所以
1
( )
x
d
x
dx
1
2
1
2
1
( ,
( , ))
( ,
( , ))
( , )
( , )
x
f x f x x
f
x f x x
f
x x
f
x x
1
2
1
2
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
f
f
f
f
2
3 2
3
17
又
(1,1)
1,
f
( )
( ,
( , ))
x
f x f x x
，
所以
(1) (1,
(1,1))
f
f
(1,1)
1
(1,1)
f
f
1,
所以
3
2
1
1
( )
( )
3
( )
x
x
d
d
x
x
x
dx
dx
2
1
( )
3
(1) x
d
x
dx
1
( )
(1) 1,
17
3 1 17
x
d
x
dx
51
五【详解】首先将arctan x 展开.
因为
arctan
'
x
2
2
1
1
( 1)
,
( 1,1)
1
n
n
n
x
x
x
故
0
arctan
arctan 0
arctan
'
x
x
x dx
2
0
0
0
( 1)
x
n
n
n
x
dx
2
2
1
0
0
0
( 1)
( 1)
2
1
n
x
n
n
n
n
n
x dx
x
n
，
1,1
x
于是
2
1
( )
arctan
x
f x
x
x
2
2
1
0
1
( 1)
2
1
n
n
n
x
x
x
n
2
2
0
( 1)
(1
)
2
1
n
n
n
x
x
n
2
2
2
0
0
( 1)
( 1)
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
0
1 1
2
1
0
2
1
0
( 1)
( 1)
( 1)
2 0 1
2
1
2
1
1
n
n
n
n
n
n
x
x
x
n
n
1
2
2
1
1
( 1)
( 1)
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
2
2
1
1
( 1)
( 1)
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
2
1
1
1
1
( 1)
2
1
2
1
n
n
n
x
n
n
2
2
1
( 1) 2
1
1 4
n
n
n
x
n
，
1,1 ,
0
x
x
又
0
lim
( )
x
f x
2
2
0
1
( 1) 2
lim 1
1 4
n
n
x
n
x
n
1
，且
(0) 1
f
，所以
( )
f x 在
0
x
处连续，从
而
0
x
时，
( )
f x
2
2
1
( 1) 2
1
1 4
n
n
n
x
n
也成立. 进而
( )
f x
2
2
1
( 1) 2
1
1 4
n
n
n
x
n
，
( 1,1)
x
，
--- [第 8 页] ---
又在
1
x 处级数
2
2
2
1
1
( 1) 2
( 1) 2
1 4
1 4
n
n
n
n
n
x
n
n
收敛，
2
1
1
1
lim
( )
lim
arctan
x
x
x
f x
x
x
2
1
1
1
lim
lim arctan
x
x
x
x
x
2 4
2
1
f
，
2
1
1
1
lim
( )
lim
arctan
x
x
x
f x
x
x
2
1
1
1
lim
lim arctan
x
x
x
x
x
2
1
4
2
f
，
所以
( )
f x 在
1
x
处左连续，在
1
x 处右连续，所以等式可扩大到
1
x ，
从而
2
2
1
( 1) 2
( )
1
1 4
n
n
n
f x
x
n
，
1,1
x
，
变形得
2
2
1
( 1)
( ) 1
1 4
2
n
n
n
f x
x
n
因此
2
1
( 1)
1 4
n
n
n
2
2
1
( 1)
1
1 4
n
n
n
n
1
(1) 1
2 f
1
1
2
2
1 . 4
2
六【详解】方法1：用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算.
记S 为平面
2
x
y
z
上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的
侧的方向符合右手法则) D 为S 在xoy 坐标面上的投影，
{( , ) |
1 }
D
x y
x
y
2
2
1
cos ,cos
,cos
{
,
,1}
1
x
y
x
y
z
z
z
z
在
2
x
y
z
中，左右两边关于x 求偏导，得1
0
xz
，得
1
xz.
在
2
x
y
z
中，左右两边关于y 求偏导，得1
0
yz
，得
1
yz.
代入上式得
1
1
1
cos ,cos
,cos
,
,
3
3
3
为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得
I
2
2
2
2
2
2
(
)
(2
)
(3
)
L y
z dx
z
x
dy
x
y
dz
--- [第 9 页] ---
S
dydz
dzdx
dxdy
x
y
z
P
Q
R
2
2
2
2
2
2
2
3
S
dydz
dzdx
dxdy
x
y
z
y
z
z
x
x
y
( 2
4 )
( 2
6 )
( 2
2 )
S
y
z dydz
z
x dzdx
x
y dxdy
将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分，而对于第二类曲面积分，一般的解答
方法是将它先化为第一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算.
把
1
1
1
,
,
cos
cos
cos
dS
dydz dS
dzdx dS
dxdy
代入上式，
I
( 2
4 )cos
( 2
6 )cos
( 2
2 )cos
S
y
z
z
x
x
y
dS
1
( 2
4 )
( 2
6 )
( 2
2 )
3
S
y
z
z
x
x
y dS
1
8
4
6
3
S
x
y
z dS
2
(4
2
3 )
3
S
x
y
z dS
按第一型曲面积分的算法，将S 投影到xoy ，记为. dS 与它在xoy 平面上的投
影d的关系是
2
2
1
1
cos
x
y
dS
d
z
z
d
故
3
dS
d
，将
2
x
y
z
代入
2
(4
2
3 )
3
S
I
x
y
z dS
2
[4
2
3(2
)]( 3
)
3
S
x
y
x
y
d
2
(
6)
D
x
y
d
由于D 关于y 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于y 轴对称，被积函数是
关于x 的奇函数，所以
0
D
xd
. D 关于x 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关
于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故
0
D
yd
，所以
2
(
6)
D
I
x
y
d
2
2
12
D
D
D
xd
yd
d
12
D
dxdy
12 D
的面积(由二重积分的几何意义知，
D
dxdy
即D 的面积)
--- [第 10 页] ---
其中，D 为
1
x
y
，D 的面积
1
4
1 1
2
2
，所以
12 2
24. I
方法2：转换投影法.
用斯托克斯公式，取平面
2
x
y
z
被L 所围成的部分为S ，按斯托克斯公式的
规定，它的方向向上(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ，S 在xoy 平面上
的投影域记为
{( , ) |
1 }
D
x y
x
y
.
由斯托克斯公式得
I
2
2
2
2
2
2
(
)
(2
)
(3
)
L y
z dx
z
x
dy
x
y
dz
S
dydz
dzdx
dxdy
x
y
z
P
Q
R
2
2
2
2
2
2
2
3
S
dydz
dzdx
dxdy
x
y
z
y
z
z
x
x
y
( 2
4 )
( 2
6 )
( 2
2 )
S
y
z dydz
z
x dzdx
x
y dxdy
由
1
1
1
,
,
cos
cos
cos
dS
dydz dS
dzdx dS
dxdy
，
及
2
2
1
cos ,cos
,cos
{
,
,1}
1
x
y
x
y
z
z
z
z
知
1
1
cos
cos
dS
dydz
dxdy
，
1
1
cos
cos
dS
dzdx
dxdy
，
故
2
2
2
2
1
cos
1
cos
1
x
x
y
x
x
y
z
z
z
dydz
dxdy
dxdy
z dxdy
z
z
2
2
2
2
1
cos
1
cos
1
y
x
y
y
x
y
z
z
z
dzdx
dxdy
dxdy
z dxdy
z
z
因为S 为
2
z
x
y
，式子左右两端分别关于,x y 求偏导，
1,
1,
z
z
x
y
于是
( 2
4 )
( 2
6 )
( 2
6 )
S
I
y
z dydz
z
x dzdx
x
y dxdy
--- [第 11 页] ---
2
4 , 2
6 , 2
6
,
,1
S
z
z
y
z
z
x
x
y
dxdy
x
y
2
(4
2
3 )
2
(
6)
S
D
x
y
z dxdy
x
y
dxdy
因为区域D 关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以
0
D
xd
. 类似的，因为
区域D 关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故
0
D
yd
，所以
2
(
6)
D
I
x
y
d
2
2
12
D
D
D
xd
yd
d
12
D
dxdy
12 D
的面积(由二重积分的几何意义知，
D
dxdy
即D 的面积)
D 为
1
x
y
，D 的面积
1
4
1 1
2
2
，所以
12 2
24. I
方法3：降维法.
记S 为平面
2
x
y
z
上由L 所围成的有界部分的上侧(曲线的正向与曲面的
侧的方向符合右手法则) ，D 为S 在xoy 坐标面上的投影，
{( , ) |
1 }
D
x y
x
y
把
2
x
y
z
代入I
中，
1L 为L 在xoy 平面上投影，逆时针.
1
2
2
2
2
2
2
(
(2
) )
(2(2
)
)
(3
)(
)
L
I
y
x
y
dx
x
y
x
dy
x
y
dx
dy
1
2
2
2
2
(
4
2
4
4
4)
(3
2
4
8
8
8)
L y
x
xy
x
y
dx
y
x
xy
x
y
dy
1
2
2
2
2
(3
2
4
8
8
8)
(
4
2
4
4
4)
[
]
L
y
x
xy
x
y
y
x
xy
x
y
dxdy
x
y
格林公式
2
(
6)
24
D
x
y
dxdy
方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法.
记S 为平面
2
x
y
z
上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的
侧的方向符合右手法则)
2
2
1
cos ,cos
,cos
{
,
,1}
1
x
y
x
y
z
z
z
z
在
2
x
y
z
中，左右两边关于x 求偏导，得1
0
xz
，得
1
xz.
在
2
x
y
z
中，左右两边关于y 求偏导，得1
0
yz
，得
1
yz.
代入上式得
--- [第 12 页] ---
1
1
1
cos ,cos
,cos
,
,
3
3
3
为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得
I
2
2
2
2
2
2
(
)
(2
)
(3
)
L y
z dx
z
x
dy
x
y
dz
S
dydz
dzdx
dxdy
x
y
z
P
Q
R
2
2
2
2
2
2
2
3
S
dydz
dzdx
dxdy
x
y
z
y
z
z
x
x
y
( 2
4 )
( 2
6 )
( 2
2 )
S
y
z dydz
z
x dzdx
x
y dxdy
用
逐
个
投
影
法
，
先
计
算
1
( 2
4 )
,
S
I
y
z dydz
其
中
( , ) | 2
1
yz
D
y z
y
z
y
为S
在yoz
平面上的投影，分别令
0,
0,2
0,2
0
y
y
y
z
y
z
, 可得到
yz
D 的4 条边界线的方程：
右：2
3
y
z
；上：
3
z
；左：2
1
y
z
；下：
1
z .
于是
1
3
(3
)
2
1
1
1
(1
)
2
2
(
2 )
16
z
z
I
dz
y
z dy
再计算
2
( 2
6 )
S
I
z
x dzdx
，其中
( , ) |
2
1
xz
D
x z
x
x
z
为S 在xoz
平面上的投影，分别令
0,
0,2
0,2
0
x
x
x
z
x
z
, 可得到
xz
D 的4 条边界
线的方程：
右：2
3
y
z
；上：
3
z
；左：2
1
y
z
；下：
1
z .
于是
1
3
(3
)
3
2
1
2
1
1
(1
)
2
2
(
3 )
(
6)
8
z
z
I
dz
z
x dx
z
dz
再计算
3
( 2
2 )
D
I
x
y dxdy
，其中
( , ) |
1
xy
D
x y
x
y
为S 在xoy 平面
上的投影，因为区域关于y 轴和x 轴均对称，被积函数是关于x 和y 都是奇函数，
于是
3
2
(
)
0
S
I
x
y dxdy
故
1
2
3
24. I
I
I
I
方法5：参数式法.
L 是平面
2
x
y
z
与柱面
1
x
y
的交线，是由4 条直线段构成的封闭折
--- [第 13 页] ---
线，将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求.
当
0,
0
x
y
时，
1 :
1
,
2
L
y
x z
x
y
, 则
,
dy
dx dz
dx
，x 从1 到
0. 以x 为参数，于是
2
2
2
2
2
2
(
)
(2
)
(3
)
y
z
dx
z
x
dy
x
y
dz
2
2
2
2
2
2
[(1
)
(2
) ]
[2(2
)
](
) [3
(1
) ](
)
x
x
y
dx
x
y
x
dx
x
x
dx
2
2
[(1
)
1 (2
)( 1)]
x
x
dx
则
1
2
2
2
2
2
2
(
)
(2
)
(3
)
L y
z dx
z
x
dy
x
y
dz
0
2
2
1 (1
)
1 (2
)( 1)
x
x
dx
7 . 3
当
0,
0
x
y
,
2 :
1
,
1 2
L
y
x z
x
, 则
,
2
dy
dx dz
dx
，x 从0 到1
于是
2
2
2
2
2
2
(
)
(2
)
(3
)
y
z
dx
z
x
dy
x
y
dz
2
2
2
2
2
2
[(1
)
(1 2 ) ]
[2(1 2 )
]
[3
(1
) ]( 2
)
x
x
dx
x
x dx
x
x
dx
(2
4)
x
dx
所以
2
1
2
2
2
2
2
2
0
(
)
(2
)
(3
)
(2
4)
3
L
y
z dx
z
x
dy
x
y
dz
x
dx
当
0,
0
x
y
,
3 :
1
,
3
L
y
x z
,则
,
0
dy
dx dz
，x 从1
到0，于是
2
2
2
2
2
2
(
)
(2
)
(3
)
y
z
dx
z
x
dy
x
y
dz
2
2
2
2
2
2
[(1
)
3 ]
[2 3
](
)
[3
(1
) ] 0
x
dx
x
dx
x
x
2
(2
2
26)
x
x
dx
所以
3
0
2
2
2
2
2
2
2
1
79
(
)
(2
)
(3
)
(2
2
26)
3
L
y
z dx
z
x
dy
x
y
dz
x
x
dx
当
0,
0
x
y
,
4 :
1,
3
2
L
y
x
z
x
，则
,
2
dy
dx dz
dx
，x 从0 到1，
于是
2
2
2
2
2
2
(
)
(2
)
(3
)
y
z
dx
z
x
dy
x
y
dz
2
2
2
2
2
2
[(
1)
(3
2 ) ]
[2(3
2 )
]
[3
(
1) ]( 2
)
x
x
dx
x
x dx
x
x
dx
( 18
12)
x
dx
--- [第 14 页] ---
所以
4
1
2
2
2
2
2
2
0
(
)
(2
)
(3
)
( 18
12)
3. L
y
z dx
z
x
dy
x
y
dz
x
dx
所以
1
2
3
4
24. L
L
L
L
L
I
七【分析】拉格朗日中值定理：如果
( )
f x 满足在闭区间
,a b 上连续，在开区间
,a b 内可
导，则至少存在一点
,a b
，使等式
f b
f a
f
b
a
成立
【详解】(1) 因为
( )
y
f x
在( 1,1)
内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格
朗日中值定理得，任给非零
( 1,1)
x
，存在
( )
x
∈(0,1) ，
( )
( 1,1)
x
x
，使
( )
(0) '
( )
f x
f
xf
x
x
，(0
( )
1)
x
成立.
因为
f
x
在( 1,1)
内连续且
"( )
0,
f
x
所以
f
x
在( 1,1)
内不变号，不妨设
"( )
0,
f
x
则
f
x
在( 1,1)
内严格单调且增加，故( )
x
唯一.
(0) '
( )
f x
f
xf
x
x
，(0
( )
1)
x
于是有
'
( )
( )
(0) xf
x x
f x
f
，即
( )
(0) '
( )
f x
f
f
x x
x
所以
2
'
( )
'(0)
( )
(0) '(0)
f
x x
f
f x
f
f
x
x
x
上式两边取极限，再根据导数定义，得
左端＝
0
'
( )
'(0)
lim
x
f
x x
f
x
0
'
( )
'(0)
lim
( )
( )
x
f
x x
f
x
x x
0
0
'
( )
'(0)
lim
lim ( )
( )
x
x
f
x x
f
x
x x
0
"(0)lim ( )
x
f
x
右端＝
2
0
( )
(0) '(0)
lim
x
f x
f
f
x
x
0
'( )
'(0)
lim
2
x
f
x
f
x
洛
0
1
'( )
'(0)
lim
2
0
x
f
x
f
x
1
"(0)
2 f
导数定义
左边=右边，即
0
1
"(0)lim ( )
"(0)
2
x
f
x
f
，故
0
1
lim ( )
.
2
x
x
方法2：由泰勒公式得
2
1
( )
(0) '(0)
"( )
,
0
2
f x
f
f
x
f
x
x
，
再与(1)中的
( )
(0) '
( )
(0
( )
1)
f x
f
xf
x x
x
--- [第 15 页] ---
比较，所以
2
1
'
( )
( )
(0) '(0)
"( )
,
2
xf
x x
f x
f
f
x
f
x
约去x ，有
1
'
( )
'(0)
"( ) ,
2
f
x x
f
f
x
凑成
'
( )
'(0)
1
( )
"( ),
( )
2
f
x x
f
x
f
x x
由于
0
'
( )
'(0)
lim
"(0)
( )
x
f
x x
f
f
x x
，
0
0
lim
"( )
lim
"( )
"(0)
x
f
x
f
f
所以
0
1
"(0)lim ( )
"(0)
2
x
f
x
f
故
0
1
lim ( )
.
2
x
x
八【详解】
2
2
2
2
2
2(
)
1
( )
0
( )
( )
2
x
y
z
h t
x
y
h t
h t
，所以侧面在xoy 面上的投影为：
2
2
2
1
,
:
( )
2
D
x y
x
y
h t
记V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则由体积公式
V
,
D
f x y dxdy
D
zdxdy
2
2
2(
)
( )
( )
D
x
y
h t
dxdy
h t
化为极坐标，令
cos ,
sin
x
r
y
r
，
0
,0
2
2
h t
r
V
2
2
2
0
0
2
( )
( )
h t
r
d
h t
rdr
h t
2
2
0
2
2
( )
( )
h t
r
h t
rdr
h t
2
2
2
0
0
2
2
( )
( )
h t
h t
r
h t rdr
rdr
h t
2
4
2
2
0
0
2
( ) 2
2 ( )
h t
h t
r
r
h t
h t
3
3
( )
( )
2
4
8
h t
h t
3
( )
4 h t
再由侧面积公式：
2
2
'
'
1
x
y
D
S
f
f
dxdy
2
2
1
x
y
D
z
z
dxdy
--- [第 16 页] ---
2
2
4
4
1
( )
( )
D
x
y
dxdy
h t
h t
2
2
2
16(
)
1
( )
D
x
y
dxdy
h t
化为极坐标，令
cos ,
sin
x
r
y
r
，
0
,0
2
2
h t
r
S
2
2
2
2
0
0
16
1
h t
r
d
rdr
h
t
2
2
2
0
16
2
1
h t
r rdr
h
t
2
2
2
2
0
16
1
h t
r dr
h
t
2
2
2
2
2
2
0
16
16
1
16
h t
h
t
r
r
d
h
t
h
t
3
2
2
2
2
2
0
2
16
1
16
3
h t
h
t
r
h
t
3
2
2
3
2
2
2
8
2
1
1
16
3
h
t
h
t
h
t
2
2
27 1
16
3
h
t
2
13
( )
12
h t
由题意知
0. 9 ( ),
dV
S t
dt
将上述
( )
V t 和( )
S t 代入，得
3
2
( )
13
( )
4
0. 9
12
d
h t
h t
dt
2
2
3
( )
13
( )
( )
0. 9
4
12
dh t
h t
h t
dt
( )
1. 3
dh t
dt
积分解得
13
( )
10
h t
t
C
由
0
130
h
, 得
130
C
. 所以
13
( )
130.
10
h t
t
令
0
h t
，即
13
130
0
10 t
100
t
因此高度为130 厘米的雪堆全部融化所需要时间为100 小时.
九【详解】由题设知，
1
2
,
,
,
s
均为
1
2
,
,
,
s
的线性组合，齐次方程组当有非零解
时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以
1
2
,
,
,
s
均为
0
Ax
的解. 下
面证明
1
2
,
,
,
s
线性无关. 设
1
1
2
2
0
s
s
k
k
k
( )
把
1
1
1
2
2,
t
t
2
1
2
2
3,
t
t
1
2
1
,
,
s
s
t
t
代入整理得，
1 1
2
1
2 1
1
2
2
2
1
1
0
s
s
s
s
t k
t k
t k
t k
t k
t k
由
1
2
,
,
,
s
为线性方程组
0
Ax
的一个基础解系，知
1
2
,
,
,
s
线性无关，由线性
--- [第 17 页] ---
无关的定义，知( )
中其系数全为零，即
1 1
2
2 1
1
2
2
1
1
0
0
0
s
s
s
t k
t k
t k
t k
t k
t k
其系数行列式
1
2
2
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
t
t
t
t
t
t
t
t
1
2
2
2
1
1
3
2
1
2
1
1
2
1
1
1
0 0
0
0
0
0 0
0 0 0
0
( 1)
s
s
s
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
（）
1
1
2
1
1
1
1
( 1)
s
s
s
s
t
t
t
t
1
1
2
( 1)
s
s
s
t
t
(
（）变换：把原行列式第i 行乘以
2
1
t
t
加到第
1
i
行，其中
1,
,
1. i
s
)
由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当1
2
( 1)
0,
s
s
t
t
，即1
2
(
) ,
s
s
t
t
即
当s 为偶数，1
2;
t
t
当s 为奇数，1
2
t
t
时，上述方程组只有零解
1
2
0,
s
k
k
k
因
此向量组
1
2
,
,
,
s
线性无关，
故当
1
2
1
2
2 ,
2
1,
s
n
t
t
s
n
t
t
时，
1
2
,
,
,
s
也是方程组
0
Ax
的基础解系.
十【详解】(1)
方法1：求B ，使
1
A
PBP
成立，等式两边右乘P ，即AP
PB
成立.
由题设知，AP
2
,
,
A x Ax A x
2
3
,
,
Ax A x A x
，又
3
2
3
2
A x
Ax
A x
，故有
AP
2
2
,
,3
2
Ax A x
Ax
A x
2
0
0
0
,
,
1
0
3
0
1
2
x Ax A x
0
0
0
1
0
3
0
1
2
P
即如果取
0
0
0
1
0
3
0
1
2
B
，此时的B 满足
1
A
PBP
，即为所求.
--- [第 18 页] ---
方法2：由题设条件
2
,
,
P
x Ax A x
是可逆矩阵，由可逆的定义，知有
1
P使
1
1
PP
P P
1
2
1
1
1
2
,
,
,
,
P
x Ax A x
P x P Ax P A x
E
1
0
0
0
1
0
0
0
1
即有
1
1
1
2
1
0
0
0 ,
1 ,
0
0
0
1
P x
P Ax
P A x
. 由题设条件，
3
2
3
2
A x
Ax
A x
，有
1
3
1
2
3
2
P A x
P
Ax
A x
1
1
2
3
2
P Ax
P A x
0
0
3 1
2 0
0
1
0
3
2
由
1
A
PBP
，得
1
B
P AP
1
2
,
,
P A x Ax A x
1
2
3
,
,
P
Ax A x A x
1
1
2
1
3
,
,
P Ax P A x P A x
0
0
0
1
0
3
0
1
2
(2) 由(1)及矩阵相似的定义知，A 与B 相似. 由矩阵相似的性质：若A
B
，则
( )
( )
f A
f B
，则A
E
与A
E
也相似. 又由相似矩阵的行列式相等，得
1
0
0
1
1
3
0
1
1
A
E
B
E
1
0
0
1
( 1) 0
1
3
2
0
1
1
行
加到行
1 1 1
3
( 1)
1
1
4
十一【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景. 它的背景是：做n 次独立重复试验，每次
试验的结果只有两个(要么成功，要么失败)，每次试验成功的概率都为p ，随机变量X 表
示n 次试验成功的次数，则
~
( , )
X
B n p . 在此题中，每位乘客在中途下车看成是一次实验，
每个人下车是独立的，有n 个人相当于做了n 次独立重复实验，把乘客下车看成实验成功，
不下车看成实验失败，而且每次实验成功的概率都为p ，则问题(1)成为n 重伯努利实验中
有m 次成功.
【详解】(1)求在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率，相当于求条件概率
|
P Y
m X
n
，由题设知，此条件概率服从二项分布，因此根据二项分布的分布律有:
|
(1
)
,0
,
0,1,2
m
m
n m
n
P Y
m X
n
C P
P
m
n n
(2) 求二维随机变量(
, )
X Y 的概率分布，其实就是求
,
P X
n Y
m
，利用乘法公式，
--- [第 19 页] ---
有
,
|
P X
n Y
m
P Y
m X
n P X
n
又X 服从参数(
0)
的泊松分布，由泊松分布的分布律有
!
n
P X
n
e
n
故
,
|
(1
)
!
m
m
n m
n
n
e
P X
n Y
m
P Y
m X
n P X
n
C P
P
n
，
其中0
,
0,1,2
m
n n
十二【详解】记
1
2
1
1
1
1
,
n
n
i
n i
i
i
X
X
X
X
n
n
，则
1
2
1
2
X
X
X
，即
1
2
2X
X
X
且
1
1
1
1
n
i
n
i
i
i
EX
nu
E X
E
X
u
n
n
n
，
2
1
1
n
n i
i
E X
E
X
u
n
因此
2
2
1
2
1
1
( )
2
n
n
i
n i
i
n i
i
i
E Y
E
X
X
X
E
X
X
X
X
2
2
1
1
2
2
1
2
n
i
i
n i
n i
i
E
X
X
X
X
X
X
X
X
2
2
1
1
2
2
1
1
1
2
n
n
n
i
i
n i
n i
i
i
i
E
X
X
E
X
X
X
X
E
X
X
因为样本方差
2
2
1
1
1
1
n
i
i
S
X
X
n
是总体方差的无偏估计，则
2
2
ES
，即
2
2
2
1
1
1
1
n
i
i
ES
E
X
X
n
所以
2
2
1
1
(
1)
n
i
i
E
X
X
n
，同理
2
2
2
1
(
1)
n
n i
i
E
X
X
n
而
1
2
1
2
1
1
2
2
n
n
i
n i
i
n i
i
i
E
X
X
X
X
E
X
X
X
X
1
2
1
2
n
i
n i
i
E
X
X
X
X
2
1
1
2
1
n
i
n i
i
n i
i
E X X
X X
X X
X X
2
1
1
2
1
n
i
n i
i
n i
i
EX X
EX X
E X X
E X X
--- [第 20 页] ---
由于
1
2
2
,
,
,
(
2)
n
X
X
X
n
相互独立同分布，则
2
i
X
X
与
，
1
n i
X
X
与
，
1
2
X
X
与
也独
立(
1,2
i
n
). 而由独立随机变量期望的性质(若随机变量
,
X Y 独立，且
,
EX EY 都存在，
则EXY
EXEY
)，所以
2
i
n i
i
n i
EX X
EX EX
u
，
2
2
2
i
i
EX X
EX E X
u
2
1
1
n i
n i
E X X
E X EX
u
，
2
1
2
1
2
E X X
E X E X
u
故有
1
2
1
n
i
n i
i
E
X
X
X
X
2
1
1
2
1
n
i
n i
i
n i
i
EX X
EX X
E X X
E X X
2
2
2
2
1
0
n
i
u
u
u
u
即
2
2
1
1
2
2
1
1
1
( )
2
n
n
n
i
i
n i
n i
i
i
i
E Y
E
X
X
E
X
X
X
X
E
X
X
2
2
2
1
1
2
1
n
n
n