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2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、 填空题
(1) 【答案】4
【详解】
1
1
2
2
0
0
2
1 (
1)
I
x
x dx
x
dx
解法1：用换元积分法：设
1
sin
x
t
，当
0
x
时，sin
1
t ，所以下限取
2
；当
1
x
时，sin
0
t
，所以上限取0 .
所以
1 sin
0
2
cos
x
t
I
cost
tdt
由于在区间[
,0]
2
，函数cost 非负，则
0
2
2
2
0
2
cos
cos
4
I
tdt
t
解法2：由于曲线
2
2
2
1 (
1)
y
x
x
x
是以点(1,0) 为圆心，以1 为半径的上半圆
周，它与直线
1
x
和
0
y
所围图形的面积为圆面积的1
4
，故答案是4
2. 1
4
6
x
y
z
【详解】曲面方程
( , , )
0
F x y z
在点
)
,
,
(
0
0
0
z
y
x
的法矢量为：
0
0
0
0
0
0
0
0
0
{
(
,
,
),
(
,
,
),
(
,
,
)}
x
y
z
n
F x
y
z
F x
y
z
F x
y
z
令
2
2
2
( , , )
2
3
21,
F x y z
x
y
z
则有
1, -2, 2
1, -2, 2
1, -2, 2
' 1, -2, 2
2 |
2,
' 1, -2, 2
4 |
8,
' 1, -2, 2
6 |
12. x
y
z
F
x
F
y
F
z
所以曲面在点(1, 2,2)
处的法线方程为：
1
2
2. 2
8
12
x
y
z
即
1
2
2. 1
4
6
x
y
z
(3) 【答案】
1
2
2
C
y
C
x
【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于
"
( ,
')
y
f x y
型的微分方程.
【详解】令
'
p
y
，有
"
dp
y
dx
.原方程化为：
3
0
dp
x
p
dx
，
3
0
dp
p
dx
x
--- [第 2 页] ---
分离变量：
3
dp
dx
p
x
两端积分：
1
3
ln
3ln
dp
dx
p
x
C
p
x
从而
1
1
1
1
3
3ln
3ln
3
1
x
C
x
C
C
C
p
e
e e
e
x
e
x
因
1
2
0
C
C
e
记
是大于零的任意常数，上式可写成
2
3
C
p
x
；
记
3
2
C
C
，
3
3
C
p
x
，便得方程的通解
3
3
p
C x
，
即
3
3
3
3
dy
C x
dy
C x dx
dx
，其中
3
C 是任意常数
对上式再积分，得：
3
2
3
5
3
3
4
4
5
2
,
2
2
C
C
C
y
C x dx
x
C
C
C
x
所以原方程的通解为：
1
2
2
C
y
C
x
(4) 【答案】1.
【详解】化增广矩阵为阶梯形，有
1
2
1
1
1
2
1
1
2
3
2
3
0
1
1
1
2
0
0
2
3
1
a
a
a
a
1
2
1
1
0
1
1
0
0
(
3)(
1)
3
a
a
a
a
当a = −1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，根据方程组解的判定，其系数矩
阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解.
当a = 3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，由方程组解的判定，系数矩阵的秩等于增
广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解.
(5) 【答案】2 3 (由
,
A B 独立的定义：
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B
)
【详解】由题设，有
1
(
)
, (
)
(
)
9
P AB
P AB
P AB
因为A 和B 相互独立，所以A 与B ，A 与B 也相互独立.
--- [第 3 页] ---
于是由
(
)
(
),
P AB
P AB
有
( ) ( )
( ) ( )
P A P B
P A P B
即有
( ) 1
( )
1
( )
( )
P A
P B
P A
P B
,
可得
( )
( )
P A
P B
，
( )
( )
P A
P B
从而
2
2
1
(
)
( ) ( )
( )
1
( )
,
9
P AB
P A P B
P A
P A
解得
2
( )
.
3
P A
二、 选择题
(1) 【答案】A
【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数. 题设中已知
'( ) ( )
( ) '( )
0,
f
x g x
f x g x
想到设函数为相除的形式
( )
( )
f x
g x
.
【详解】
设
( )
( )
( )
f x
F x
g x
，则
2
'( ) ( )
( ) '( )
( )
0,
( )
f
x g x
f x g x
F x
g
x
则
( )
F x 在a
x
b
时单调递减，所以对
a
x
b
，
( )
( )
( )
F a
F x
F b
，即
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f a
f x
f b
g a
g x
g b
得
( ) ( )
( ) ( ),
f x g b
f b g x
a
x
b
，( )
A 为正确选项.
(2) 【答案】C
【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有：
性质1：设
( , , )
f x y z 在分块光滑曲面S 上连续，S 关于yoz 平面对称，则
1
0
( , , )
( , , )
2
( , , )
( , , )
S
S
f x y z
x
f x y z dS
f x y z dS
f x y z
x
若
关于为奇函数
若
关于为偶函数
其中
1
{
0}
S
S
x
.
性质2：设
( , , )
f x y z 在分块光滑曲面S 上连续，S 关于xoz 平面对称，则
1
0
( , , )
( , , )
2
( , , )
( , , )
S
S
f x y z
y
f x y z dS
f x y z dS
f x y z
y
若
关于为奇函数
若
关于为偶函数
其中
1
{
0}
S
S
y
.
--- [第 4 页] ---
性质3：设
( , , )
f x y z 在分块光滑曲面S 上连续，S 关于xoy 平面对称，则
1
0
( , , )
( , , )
2
( , , )
( , , )
S
S
f x y z
z
f x y z dS
f x y z dS
f x y z
z
若
关于为奇函数
若
关于为偶函数
其中
1
{
0}
S
S
z
.
【详解】
方法1：直接法：
本题中S 在xoy 平面上方，关于yoz 平面和xoz 平面均对称，而
( , , )
f x y z
z
对,x y
均为偶函数，则
1
1
2
{
0}
2
4
S
S
x
S
zdS
zdS
zdS
性质
性质
又因为在
1S 上将x 换为y ，y 换为z ，z 换为x ，
1S 不变(称积分区域
1S 关于, ,
x y z
轮换对称)，从而将被积函数也作此轮换变换后，其积分的值不变，即有
1
1
1
4
4
4
S
S
S
zdS
xdS
ydS
. 选项( )
C 正确.
方法2：间接法(排除法)
曲面S 关于yoz 平面对称，x 为x 的奇函数，所以
0
S
xdS
，而
1
S
xdS
中
0
x
且
仅在yoz 面上
0
x
，从而
1
0
S
xdS
，( )
A 不成立.
曲面S 关于zox 平面对称，y 为y 的奇函数，所以
0
S
ydS
，而
1
0
S
xdS
，所
以( )
B 不成立.
曲面S 关于zox 平面对称，xyz 为y 的奇函数，所以
0
S
xyzdS
，而
1
0
S
xyzdS
，
所以( )
D 不成立.
(3) 设级数
1
n
n
u
收敛，则必收敛的级数为
(
)
(A)
1
1
. n
n
n
u
n
(B)
2
1
. n
n
u
(C)
2
1
2
1
(
).
n
n
n
u
u
(D)
1
1
(
).
n
n
n
u
u
【答案】D
【详解】
--- [第 5 页] ---
方法1：直接法. 由
1
n
n
u
收敛，所以
1
1
n
n
u
也收敛.由收敛级数的性质(如果级数
1
n
n
u
、
1
n
n
v
分别收敛于s 、，则级数
1
n
n
n
u
v
也收敛，且其和为s
). 知
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
u
u
u
u
. 选项( )
D 成立.
方法2：间接法. 找反例：
( )
A ：取
1
( 1) ln(1
)
n
n
u
n
，级数
1
n
n
u
收敛，但
1
1
1
( 1)
( 1)
ln(1
)
n
n
n
n
n
u
n
n
n
是发散的；（关于上述结束的敛散，有下述结果：
1
1
1
(
1)ln (1
)
1
p
n
p
n
n
p
收敛
当
当
发散
）
( )
B ：取
( 1)n
n
u
n
，级数
1
n
n
u
收敛，
2
1
1
1
n
n
n
u
n
发散；
( )
C ：取
1
( 1)n
n
u
n
，级数
1
n
n
u
收敛，但
2
1
2
1
1
4
1
1
2
1
2
2 (2
1)
n
n
n
u
u
n
n
n
n
n
由比较审敛法的极限形式知，级数
2
1
2
1
(
)
n
n
n
u
u
发散.
(4) 【答案】(D)
【详解】用排除法.
(A)为充分但非必要条件：若向量组
1,
,
m
可由向量组
1,
,
m
线性表示，则一定
可推导
1,
,
m
线性无关，因为若
1,
,
m
线性相关，则
1,
,
,
m
r
m
于是
1,
,
m
必线性相关，矛盾. 但反过来不成立，如当m =1时，
1
1
(1,0) ,
(0,1)
T
T
均为单个非零
向量是线性相关的，但
1
并不能用
1
线性表示.
(B)为既非充分又非必要条件：如当m = 1时，考虑
1
1
(1,0) ,
(0,1)
T
T
均线性无关，
但并不能由
1
线性表示，必要性不成立；又如
1
1
(1,0) ,
(0,0) ,
T
T
可由
1
线性表示，
--- [第 6 页] ---
但
1
并不线性无关，充分性也不成立.
(C)为充分但非必要条件：若向量组
1,
,
m
与向量组
1,
,
m
等价，由
1,
,
m
线
性无关知，
1
1
,
,
,
,
,
m
m
r
r
m
因此
1,
,
m
线性无关，充分性成立；当m
= 1时，考虑
1
1
(1,0) ,
(0,1)
T
T
均线性无关，但
1
与
1
并不是等价的，必要性不成立.
(D) 剩下(D)为正确选项. 事实上，矩阵
1,
,
m
A
与矩阵
1,
,
m
B
等价⇔
r
A =r
B ⇔
1
1
,
,
,
,
,
m
m
r
r
m
因此是向量组
1,
,
m
线性无关的充要
条件.
(5) 【答案】B.
【详解】和不相关的充分必要条件是它们的相关系数
,
0
Cov
D
D
,
0
Cov
由协方差的性质：cov(
,
)
cov(
,
)
cov( ,
)
aX
bY Z
a
X Z
b
Y Z
故
,
,
Cov
Cov X
Y X
Y
,
,
,
,
Cov X X
Cov X Y
Cov Y X
Cov Y Y
,
,
Cov X X
Cov Y Y
D X
D Y
可见
,
0
0
Cov
D X
D Y
D X
D Y
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
( )
E X
E X
E Y
E Y
(由方差定义
2
2
(
)
DX
EX
EX
)
故正确选项为(B).
三【分析】由于极限中含有
1
x
e 与x ，故应分别求其左极限与右极限，若左极限与右极限相
等，则极限值存在且等于其极限值，否则极限不存在.
【详解】
1
1
4
4
0
0
2
sin
2
sin
2
lim
lim
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
x
x
e
e
；
--- [第 7 页] ---
1
1
4
4
0
0
2
sin
2
sin
lim
lim
0 1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
x
x
e
e
；
左极限与右极限相等，所以
1
4
0
2
sin
lim
1. 1
x
x
x
e
x
x
e
四【详解】根据复合函数的求导公式，有
1
2
2
1
'
'
'
z
y
f
y
f
g
x
y
x
于是
2
11
12
1
21
22
2
2
1
z
x
x
f x
f
y
f
f x
f
x y
y
y
y
2
2
2
2
1
1
1
y
f
g
g
y
x
x
x
1
2
11
22
2
3
2
3
1
1
'
'
'
"
x
y
f
f
xyf
f
g
g
y
y
x
x
五【详解】
方法1：(复连通条件下的封闭曲线积分)
设：(1)
1L 与
2
L 是两条分段光滑的简单封闭曲线，具有相同的走向，(2)在
1L 与
2
L 所包
围的有界闭区域
1
D 与
2
D 的内部除一些点外，
( , )
P x y 与
( , )
Q x y 连续并具有连续的一阶偏导
数，且Q
P
x
y
. 则
1
2
( , )
( , )
( , )
( , )
L
L
P x y dx
Q x y dy
P x y dx
Q x y dy
解：以点
1,0 为中心，R 为半径的圆周的参数方程是：
1
cos ,
sin
x
R
y
R
，逆
时针方向一周为从
0
t
到
2
t
，代入曲线积分
2
2
4
L
xdy
ydx
I
x
y
由于分母很繁，计算不方便. 由曲线封闭，可以考虑使用格林公式，但在L 所包围的区
域内部有点
(0,0)
O
，该点处分母为0，导致被积函数不连续，格林公式不能用.
--- [第 8 页] ---
记
2
2
2
2
,
,
4
4
y
x
P
Q
x
y
x
y
且
( , )
P x y 与
( , )
Q x y 满足
2
2
2
2
2
4
4
P
y
x
Q
x
y
x
y
，
( , )
(0,0)
x y
. 作足够小的椭圆：
1
cos
:
(
0,2
,
)
2
sin
x
t
L
t
C
y
t
取逆时针方向，
于是L 与
1L 及函数
( , )
P x y 与
( , )
Q x y 满足“分析”中所述定理的一切条件，于是
1
2
2
2
2
4
4
L
L
xdy
ydx
xdy
ydx
I
x
y
x
y
而后一积分可用参数法计算
1
2
2
2
2
2
2
2
0
0
L
1
cos
cos
sin
( sin )
2
2
2
4
t
t
t
t
xdy
ydx
I
dt
dt
x
y
方法2：记
2
2
2
2
,
,
4
4
y
x
P
Q
x
y
x
y
则
0
P
Q
x
y
，( , )
(0,0)
x y
. 在L 内加
1L ：
椭圆
2
2
2
4x
y
的顺时针方向，则
1
1
2
2
2
2
4
4
L L
L
xdy
ydx
xdy
ydx
I
x
y
x
y
1
2
2
0
4
L
D
xdy
ydx
dxdy
x
y
( D 由L 与
1L 所围)
1
1
2
2
1
1
2
L
D
xdy
ydx
dxdy
(
2
2
2
1 : 4
D
x
y
)
2
2
2
六【详解】由题设条件，可以用高斯公式：
2
0
( )
( )
x
S
xf x dydz
xyf x dzdx
e zdxdy
2
'( )
( )
( )
x
xf
x
f x
xf x
e
dv
其中Ω为S所围成的有界闭区域，当S 的法向量指向外时，“ ”中取“ ”；当S 的法向量指
向内时，“ ”中取“ ”. 由S的任意性，知被积函数应为恒等于零的函数
即
2
'( )
( )
( )
0,(
0)
x
xf
x
f x
xf x
e
x
--- [第 9 页] ---
变形后得
2
1
1
'( )
1
( )
,(
0)
x
f
x
f x
e
x
x
x
这是一阶线性非齐次微分方程，
利用一阶线性非齐次微分方程
( )
( )
dy
P x y
Q x
dx
的通解公式：
( )
( )
( )
P x dx
P x dx
y
e
Q x
e
dx
C
其通解为
1
1
1
(1
)
2
2
1
1
( )
x
x
dx
dx
x
x
x
x
x
x
e
e
f x
e
e
e
dx
C
e
xe dx
C
e
C
x
x
x
x
由于
2
0
0
lim
( )
lim
1,
x
x
x
x
e
Ce
f x
x
故必有
2
0
lim
0,
x
x
x
e
Ce
(否则不能满足极
限值为1)，即
1
0,
C
从而C = −1.
因此
( )
1 . x
x
e
f x
e
x
七【定义概念】幂级数
0
n
n
n
a x
，若
1
lim
n
n
n
a
a
，其中
1
,
n
n
a a 是幂级数
0
n
n
n
a x
的相邻
两项的系数，则该幂级数的收敛半径
1
0
0
0
R
开区间(
, )
R R
叫做幂级数的收敛区间.
【详解】
1
1
1
1
2
1 (
)
3
( 2)
1
3
lim
lim
lim
2
3
3
( 2)
(
1)
3 1 (
)
(
1)
3
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
n
n
a
a
n
n
所以收敛半径为R = 3，相应的收敛区间为
-3,3 .
当x =3时，因为
3
1
1
1
1
3
( 2)
2
2
1
3
n
n
n
n n
n
n
--- [第 10 页] ---
且
1
1
n
n
发散，由比较审敛法的极限形式，所以原级数在点x =3处发散；
当x = −3 时，由于
3
3
2
2
1
2
1
1
1
1
,
3
( 2)
3
( 2)
3
( 2)
3
( 2)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
分别考虑两个级数，级数
1
1
1
n
n
n
是收敛的. 又因
2
lim 1
3
n
n
n
，从而
2
2
1
1
2
3
3
( 2)
3
2
1
3
n
n
n
n
n
n n
n
再由
1
2
3
n
n
收敛，根据比较审敛法知
1
2
1
3
( 2)
n
n
n
n
n
收敛. 于是
1
3
1
3
( 2)
n
n
n
n
n
收敛，所以原级数在点x = −3处收敛. 所以收敛域为[ 3,3)
.
八【详解】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关
键是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点
0P 作为坐标原点，相应的有
两种求解方法.
方法1：记所考虑的球体为Ω，以Ω的球心为坐标原点O, 射线
0
OP 为正x 轴建立直角坐标系，
则球面方程为：
2
2
2
2
x
y
z
R
，点
0P 的坐标为
,0,0
R
，设Ω的重心位置为
( , , )
x y z
，由对称性，得
0,
0,
y
z
设为上点( , , )
x y z 处的密度，按题设
--- [第 11 页] ---
2
2
2
k
x
R
y
z
，则
x dV
x
dV
2
2
2
2
2
2
x k
x
R
y
z
dV
k
x
R
y
z
dV
而
2
2
2
k
x
R
y
z
dV
2
2
2
2
2
k x
y
z
R
dV
kR
zdV
2
2
2
2
0
k
x
y
z
dV
k
R dV
(利用奇函数的对称性)
2
2
5
2
2
0
0
0
4
8
sin
3
R
k
k
d
d
r
r
dr
R
(利用奇偶函数的对称性轮换对称性
球体体积公式)
4
5
2
0
0
4
8
sin
2
3
R
k
k
d
r dr
R
5
5
2
0
0
4
8
sin
-
2
5
3
R
r
k
k
d
R
(牛莱公式)
5
5
2
0
4
8
sin
2
5
3
R
k
k
d
R
5
5
2
0
4
4
cos
-
5
3
k R
k
R
(牛莱公式)
5
5
5
4
4
32
5
3
15
k R
k
k R
R
2
2
2
kx
x
R
y
z
dV
2
2
2
2
2
(
)
2
k
x x
y
z
R
kR
x dV
其中第一个积分的被积函数为z 的奇函数，对称于xOy 平面，所以该积分值为零，
又由于关于, ,
x y z 轮换对称，所以
2
2
2
z dV
x dV
y dV
从而
2
2
2
2
2
2
2
5
0
0
1
1
4
(
)
sin
3
3
15
R
o
x dV
x
y
z
dV
d
d
r
r
dr
R
--- [第 12 页] ---
于是
2
2
2
kx
x
R
y
z
dV
5
6
4
8
2
15
15
k
kR
R
R
故
.
4
R
x
因此，球体Ω的重心位置为(
,0,0)
4
R
方法2：
用Ω表示所考虑的球体，O 表示球心，以点
0P 选为原点，射线
0P O 为正z轴建立直
角坐标系，则球面的方程为
2
2
2
2
x
y
z
Rz
，设Ω的重心位置为( , , )
x y z ，由对称
性，得
0,
0
x
y
，设为上点( , , )
x y z 处的密度，按题设
2
2
2
k x
y
z
所以
z dV
z
dV
2
2
2
2
2
2
kz x
y
z
dV
k x
y
z
dV
因为
2
cos
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
4
sin
R
x
y
z
dV
d
d
r
r
dr
5
32
15
R
2 cos
2
2
2
5
2
2
0
0
0
4
sin
cos
R
z x
y
z
dV
d
d
r
dr
6
7
6
2
0
64
8
cos
sin
3
3
R
d
R
故
5
. 4
z
R
因此，球体Ω的重心位置为
5
(0,0,
).
4
R
九【证明】
--- [第 13 页] ---
方法1：令
0
( )
( )
,0
x
F x
f t dt
x
，有
(0) 0,
F
由题设有
( )
0
F
.
又由题设
0
( )cos
0
f x
xdx
，用分部积分，有
0
0
0
( )cos
cos
( )
f x
xdx
xdF x
0
0
( )cos
( )sin
F x
x
F x
xdx
0
( )sin
F x
xdx
由积分中值定理知，存在
(0, )
使
0
0
( )sin
( )sin
(
0)
F x
xdx
F
因为
(0, )
，sin
0
，所以推知存在
(0, ),
使得
( )
0
F
. 再在区间
[0, ]
与[ , ]
上对
( )
F x
用罗尔定理，推知存在
1
(0, )
，
2
( , )
使
1
2
(
)
0,
(
)
0
F
F
，即
1
2
(
)
0,
(
)
0
f
f
方法2：由
0
( )
0
f x dx
及积分中值定理知，存在
1
(0, )
，使
1
(
)
0
f
. 若在区间(0, )
内
( )
f x 仅有一个零点
1，则在区间
1
(0,
)
与
1
( , )
内
( )
f x 异号. 不妨设在
1
(0,
)
内
( )
0
f x
，在
1
( , )
内
( )
0
f x
. 于是由
0
0
( )
0,
( )cos
0
f x dx
f x
xdx
，有
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
( )cos
( )cos
( )(cos
cos
)
( )(cos
cos
)
( )(cos
cos
)
f x
xdx
f x
dx
f x
x
dx
f x
x
dx
f x
x
dx
当
1
0
x
时，
1
cos
cos
x
，
1
( )(cos
cos
)
0
f x
x
；当
1
x
时，
1
cos
cos
x
，仍有
1
( )(cos
cos
)
0
f x
x
，得到：0
0
. 矛盾，此矛盾证明了
( )
f x
在(0, )
仅有1个零点的假设不正确，故在(0, )
内
( )
f x 至少有2个不同的零点.
十【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根
据题设等式，可先右乘A ，再左乘
*
A ，尽量不去计算
1
A
【详解】方法１：由
*
*
,
AA
A A
A E
知
1
*
,
n
A
A
因此有
3
*
8
,
A
A
于是
2
A
，所以
*
2
A A
等式
1
1
3
ABA
BA
E
两边先右乘A，得
1
1
3
ABA A
BA A
EA
再左乘
*
A ，得
*
1
*
1
*3
A ABA A
A BA A
A
EA
--- [第 14 页] ---
化简
*
*
|
|
3
A BE
A BE
A A
*
2
3|
|
B
A B
A E
*
2
6
B
A B
E
*
2
6 ,
E
A
B
E
于是
1
*
2
B
E
A
1
1
0
0
0
1
0
0
0
6
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
6
0
0
6
6 1
0
1
0
1
0
1
0
6
0
6
0
1
1
0
3
0
6
0
3
0
1
0
0
2
6
(由初等变换法求得)
方法2:
2
A
(同解1)，由
*
*
,
AA
A A
A E
得
1
1
*
*
1
0
0
0
0
1
0
0
2
2
1
0
1
0
3
1
0
0
8
8
A
A A
A
2
0
0
0
0
2
0
0
,
2
0
2
0
3
1
0
0
4
4
(由初等变换法求得)，可见A−E 为逆矩阵.
于是，由
1
3 ,
A
E BA
E
有
1
3
,
B
A
E
A
而
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
,
2
0
1
0
2
0
1
0
3
3
3
0
0
0
1
0
4
4
4
A
E
因此
1
0
0
0
2
0
0
0
6
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
6
0
0
3 2
0
1
0
2
0
2
0
6
0
6
0
3
3
1
0
3
0
1
0
1
0
0
0
4
4
4
B
方法3：由题设条件
1
1
3
ABA
BA
E
，得
1
3 . A
E BA
E
知：A
E
，B 均是可逆矩阵，且
1
*
1
1
1
1
1
3
3
3
3
A
B
A
E
A
A
A
E
E
A
E
A
--- [第 15 页] ---
由
1
*
n
A
A
，其中
4
n
，
*
8
A
，得
2
A
故
1
1
*
*
1
*
2
3
3
6 2
2
2
A
E
A
B
E
E
A
其中
*
1
0
0
0
0
1
0
0
2
1
0
1
0
0
3
0
6
E
A
，
1
*
1
0
0
0
0
1
0
0
2
,
1
0
1
0
1
1
0
0
2
6
E
A
所以
1
*
1
0
0
0
6
0
0
0
0
1
0
0
0
6
0
0
6 2
6
1
0
1
0
6
0
6
0
0
3
0
6
0
3
0
1
B
E
A
十一【详解】(1)由题意，1
6
n
n
x
y
是非熟练工人数，2 1
5 6
n
n
x
y
是年终由非熟练工人
变成的熟练工人数，5
6
nx 是年初支援其他部门后的熟练工人数，根据年终熟练工的人数列
出等式(1)，根据年终非熟练工人人数列出等式(2)得
1
1
5
2 1
(2) 5 6
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
y
y
x
y
1
1
5
1
2
6
15
5
1
3
10
5
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
y
y
x
y
1
1
9
2
10
5
1
3
10
5
n
n
n
n
n
n
x
x
y
y
x
y
，即
1
1
9
2
10
5
1
3
10
5
n
n
n
n
x
x
y
y
可见
9
2
10
5 . 1
3
10
5
A
(2) 把
1
，
2
作为列向量写成矩阵的形式
1
2
(
,
)
，因为其行列式
1
2
4
1
(
,
)
5
0
1
1
--- [第 16 页] ---
矩阵为满秩，由矩阵的秩和向量的关系可见
1
2
,
线性无关.
又
1
1
9
2
4
4
10
5
,
1
3
1
1
10
5
A
2
2
1
1
2
,
1
2
2
A
由特征值、特征向量的定义，得
1
为A的属于特征值
1
1
的特征向量，
2
为A 的属于特征
值
2
1
2
特征向量.
(3) 因为
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
A
A
A
A
y
y
y
y
因此只要计算
n
A 即可. 令
1
2
4
1
,
,
1
1
P
则由
1
1
2
,
P AP
有
1
1
2
,
A
P
P
于是
1
1
1
2
1
4
1
4
1
1
1
1
1
1
2
n
n
n
A
P
P
1
1
4
4
2
2
1
5
1
1
1
1 4
2
2
n
n
n
n
其中求逆矩阵的过程为：
4
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
4
1
1
0
4
4
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
5
5
4
1
1
1
0
1
0
1
4
1
0
1
5
5
4
4
5
5
--- [第 17 页] ---
所以
1
4
1
1
1
4
4
4
4
1
5
5
4
1
4
1
5
- 5
5
因此
1
1
1
1
8
3 2
1
2
1
10
1
2
3
2
2
n
n
n
n
n
x
A
y
十二【分析】此分布为一典型分布——几何分布.
【详解】显然X 是一个离散型随机变量. 取值范围为1，2，3，……现在关键在于建立X 的
分布律. 生产线上每个产品的生产可理解为一个试验. 各个产品合格与否是相互独立的，可
以看成是各次试验是相互独立的.生产了个产品停机，应该理解为第X 个产品是不合格产
品，而前
1
X 个产品则必为合格产品，这就不难写出分布律.
记
1
,
q
p X
的概率分布为
1 ,(
1,2
)
k
P X
k
q
p k
. 由离散型随机变量的数
学期望定义得，X 的数学期望为
1
1
1
1
(
)
k
k
k
k
k
E X
kP X
k
kq
p
p
q
1
1
k
k
q
p
q
p
q
1
p
因为
2
2
2
1
1
1
1
(
)
k
k
k
k
k
E X
k P X
k
k q
p
p q
q
2
2
2
1
q
p
p
p
q
(因为幂级数在其收敛区间内可逐项求导的性质，上面求
(
)
E X 和
2
(
)
E X
时都用到了先求导
化为易求和的级数，再积分还原的过程.)
故X 的方差为
2
2
2
2
2
1
(
)
(
)
(
)
p
D X
E X
E X
p
p
2
1
p
p
十三【概念】最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于
构造似然函数. 似然函数的定义：
设
1
2
,
,...,
n
x x
x 是相应于样本
1
2
,
,...,
n
X
X
X 的一组观测值，则似然函数为：
1
2
1
2
1
( )
( ,
,
,
; )
( ; )
( ; ) (
; )
(
; )
n
n
i
n
i
L
f x x
x
f x
f x
f x
f x
【详解】似然函数为
--- [第 18 页] ---
1
2
1
2
1
2
,
(
1,2,
, )
( )
( ,
,
,
, )
( ; )
0,
n
i
i
x
n
n
n
i
i
e
x
i
n
L
L x x
x
f x
其他
当
(
1,2,
, )
ix
i
n
时，( )
0,
L
所以
1
ln ( )
ln 2
2
. n
i
i
L
n
x
(由于ln L 是单调递增函数，L 取最大与ln L 取最大取到的是一致的，而加对数后能把连
乘转换成累加，这样求导，找极值比较方便)
而
ln ( )
2
0,
d
L
n
d
所以( )
L 单调增加. 要使得( )
L 值最大，是越大越好.
又由于必须满足
(
1,2,
, )
ix
i
n
，因此当取
1
2
,
,
,
n
x x
x
中的最小值时，
(
1,2,
, )
ix
i
n
恒成立，且此时( )
L 取最大值，所以的最大似然估计值为
1
2
min( ,
,
,
)
n
x x
x