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1
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、 填空题(本题共5 小题,每小题3 分,满分15 分.)
(1) 【答案】
1
4
【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,
原式
2
0
1
1
2
1
1
2
lim
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
0
1
1
4
lim
1
1
2
x
x
x
x
x
x
2
2
0
2
1
1
lim
4
x
x
x
2
2
2
2
0
1
1
1
2
1
1
2
lim 2
4
x
x
x
x
x
.
方法2：采用洛必达法则.
原式
0
2
1
1
2
lim
x
x
x
x
洛
0
1
1
2 1
2 1
lim
2
x
x
x
x
2
0
1
1
lim
4
1
x
x
x
x
x
0
1
1
lim
4
x
x
x
x
0
1
1
2 1
2 1
lim
4
x
x
x
洛
0
1
1
lim
1
2 1
2 1
4
4
x
x
x
.
方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至
2x 项,
1
x
2
2
1
1
1
1
2
8
x
x
o
x
, 1
x
2
2
2
1
1
1
2
8
x
x
o
x
,
从而
原式
2
2
2
2
1
2
2
0
1
1
1
1
1
1
2
2
8
2
8
lim
x
x
x
o
x
x
x
o
x
x
2
2
2
1
2
2
0
1
4
lim
x
x
o
x
o
x
x
1
4
.
(2) 【答案】
(
)
(
)
(
)
yf
xy
x
y
y
x
y
--- [第 2 页] ---
2
【分析】因为
1
(
)
(
),
,
z
f xy
y
x
y
f
x
具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续
的条件下与求导次序无关,先求z
x
或z
y
均可,但不同的选择可能影响计算的繁简.
方法1：先求z
x
.
2
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
z
y
f xy
y
x
y
f xy
f
xy
y
x
y
x
x x
x
x
,
2
2
2
1
(
)
(
)
(
)
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
).
z
y
f xy
f
xy
y
x
y
x y
y
x
x
y
f
xy x
f
xy
f
xy x
x
y
y
x
y
x
x
x
f
xy
f
xy
yf
xy
x
y
y
x
y
x
x
yf
xy
x
y
y
x
y
方法2：先求z
y
.
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
),
z
f xy
y
x
y
f
xy x
x
y
y
x
y
y
y
x
x
f
xy
x
y
y
x
y
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
).
z
z
f
xy
x
y
y
x
y
x y
y x
x
yf
xy
x
y
y
x
y
方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：
2
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
).
z
f xy
y
x
y
x y
x
y
x
y
x
f
xy x
y
x
y
x x
y
f
xy
y
x
y
x
y
yf
xy
x
y
y
x
y
评注：本题中,
,f 中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注
意到对x 求导时, y 视为常数；对y 求导时, x 视为常数就可以了.
(3) 【答案】12a
【解析】L 关于x 轴( y 轴)对称, 2xy 关于y (关于x )为奇函数
2
0
L xyds
.
--- [第 3 页] ---
3
又在L 上,
2
2
2
2
2
2
1
3
4
12
(3
4
)
12
12 .
4
3
L
L
x
y
x
y
x
y
ds
ds
a
因此,
原式
2
2
2
(3
4
)
12
L
L
xyds
x
y
ds
a
.
【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分
,
l f x y ds
,设
,
f x y 在l 上连续,如果l 关
于y 轴对称, 1l 为l 上
0
x
的部分,则有结论：
1
2
,
,
,
,
0
,
l
l
f x y ds
f x y
x
f x y ds
f x y
x
关于为偶函数,
，
关于为奇函数.
类似地,如果l 关于x 轴对称, 2l 为l 上
0
y
的部分,则有结论：
2
2
,
,
,
,
0
,
l
l
f x y ds
f x y
y
f x y ds
f x y
y
关于为偶函数,
，
关于为奇函数.
(4) 【答案】
2
1
A
【解析】方法1：设A 的对应于特征值的特征向量为,由特征向量的定义有
,
(
0)
A
.
由
0
A
,知
0
(如果0是A 的特征值
0
A
),将上式两端左乘A,得
A A
A
A
A
,
从而有
*
,
A
A
(即A的特征值为A
).
将此式两端左乘A,得
2
2
*
*
A
A
A
A
.
又E
,所以
2
2
*
1
A
A
E
,故
* 2
(
)
A
E
的特征值为
2
1
A
.
方法2：由
0
A
, A 的特征值
0
(如果0是A 的特征值
0
A
),则
1
A有特征值
--- [第 4 页] ---
4
O
1
2
2e
x
y
1
y
x
1
(2, )
2
1
, A的特征值为A
；
* 2
(
)
A
E
的特征值为
2
1
A
.
【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数及非零的n
维列向量X 使得AX
X
成立,则称是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特
征向量.
由为A 的特征值可知,存在非零向量使A
,两端左乘
1
A,得
1
A
.
因为
0
,故
0
,于是有
1
1
A
.按特征值定义知1
是
1
A的特征值.
若AX
X
,则(
)
(
)
A
kE X
AX
kX
k X
.即若是A 的特征值,则
A
kE
的特征值是
k
.
2. 矩阵A 可逆的充要条件是
0
A
,且
1
1
A
A
A
.
(5) 【答案】1
4
【解析】首先求(
, )
X Y 的联合概率密度
( , )
f x y .
2
1
( , ) |1
,0
D
x y
x
e
y
x
,
区域D 的面积为
2
2
1
1
1
ln
2. e
e
D
S
dx
x
x
1 ,
( , )
,
( , )
2
0,
x y
D
f x y
其他.
其次求关于X 的边缘概率密度.
当
1
x 或
2
x
e
时,
( )
0
Xf
x
；
当
2
1
x
e
时,
1
0
1
1
( )
( , )
2
2
x
Xf
x
f x y dy
dy
x
.
故
1
二、 选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)
(1) 【答案】(A)
【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换
2
2,
u
x
t
2
:0
:
0
t
x
u x
,
2
2
2
du
d x
t
tdt
1
2
dt
du
t
,
--- [第 5 页] ---
5
2
2
2
0
2
2
2
2
0
0
0
1
(
)
( )
2
1
1
( )
( )
,
2
2
x
x
x
x
tf x
t dt u
x
t
tf u
dt
t
f u du
f u du
2
2
2
0
0
2
2
2
2
1
(
)
( )
2
1
1
(
)
(
) 2
(
),
2
2
x
x
d
d
tf x
t dt
f u du
dx
dx
f x
x
f x
x
xf x
选(A).
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若
( )
( )
( )
( )
t
t
F t
f x dx
,
( )t
,
( )t
均一阶
可导,则
( )
( )
( )
( )
( )
F t
t
f
t
t
f
t
.
(2) 【答案】(B)
【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是
分段函数.
2
2
( )
(
2)
1
f x
x
x
x x
,当
0, 1
x
时
( )
f x 可导,因而只需在
0, 1
x
处
考察
( )
f x 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.
由
2
2
2
2
2
2
2
2
(
2) (1
),
1,
(
2) (
1),
1
0,
( )
(
2) (1
),
0
1,
(
2) (
1),
1
,
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
f x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
2
2
1
1
1
(
2) (1
)
0
( 1)
lim
lim
0
1
1
x
x
f x
f
x
x
x
x
f
x
x
,
2
2
1
1
1
(
2) (1
)
0
( 1)
lim
lim
0
1
1
x
x
f x
f
x
x
x
x
f
x
x
,
即
( )
f x 在
1
x 处可导.又
2
2
0
0
0
(
2) (
1)
0
(0) lim
lim
2
x
x
f x
f
x
x
x x
f
x
x
,
2
2
0
0
0
(
2) (1
)
0
(0) lim
lim
2
x
x
f x
f
x
x
x
x
f
x
x
,
所以
( )
f x 在
0
x
处不可导.
类似,函数
( )
f x 在
1
x
处亦不可导.因此
( )
f x 只有2个不可导点,故应选(B).
--- [第 6 页] ---
6
评注：本题也可利用下列结论进行判断：
设函数
( )
( )
f x
x
a
x
,其中( )
x
在x
a
处连续,则
( )
f x 在x
a
处可导的充要
条件是( )
0
a
.
(3) 【答案】(D)
【解析】由
2
,
1
y x
y
x
有
2
. 1
y
y
x
x
x
令
0,
x
得是x
的高阶无穷小,则
0
lim
0
x
x
,
0
lim
x
y
x
2
0
lim 1
x
y
x
x
2
0
0
lim
lim
1
x
x
y
x
x
2
1
y
x
即
2
1
dy
y
dx
x
.
分离变量,得
2 ,
1
dy
dx
y
x
两边积分,得ln
arctan
y
x
C
,即
arctan
1
. x
y
C e
代入初始条件(0)
,
y
得
arctan0
1
1
0
.
y
C e
C
所以,
arctan x
y
e
.
故
arctan
1
(1) x
x
y
e
arctan1
e
4 . e
【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,
( ),
( )
x
x
为无穷小且存在极限
( )
lim
( )
x
l
x
,
(1) 若
0,
l
称
( ),
( )
x
x
在该极限过程中为同阶无穷小；
(2) 若
1,
l
称
( ),
( )
x
x
在该极限过程中为等价无穷小,记为
( )
( )
x
x
；
(3) 若
0,
l
称在该极限过程中
( )
x
是
( )x
的高阶无穷小,记为
( )
( )
x
o
x
.
若
( )
lim
( )
x
x
不存在(不为),称
( ),
( )
x
x
不可比较.
(4) 【答案】(A)
【解析】设
3
3
3
1
1
2
1
2
1
2
: x
a
y
b
z
c
L
a
a
b
b
c
c
,
1
1
1
2
2
3
2
3
2
3
: x
a
y
b
z
c
L
a
a
b
b
c
c
,题设矩阵
--- [第 7 页] ---
7
1
1
1
2
2
2
3
3
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
是满秩的,则由行列式的性质,可知
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
3
3
3
3
3
3
3
1
2
2
3
0
a
b
c
a
a
b
b
c
c
a
b
c
a
a
b
b
c
c
a
b
c
a
b
c
行减行，行减行
,
故向量组
1
2
1
2
1
2
(
,
,
)
a
a b
b c
c
与
2
3
2
3
2
3
(
,
,
)
a
a b
b c
c
线性无关,否则由线性相关的定
义知,一定存在
1
2
,
k k ,使得
1
1
2
1
2
1
2
2
2
3
2
3
2
3
(
,
,
)
(
,
,
)
0
k a
a b
b c
c
k a
a b
b c
c
,这样
上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.
1
2
1
2
1
2
(
,
,
)
a
a b
b c
c
与
2
3
2
3
2
3
(
,
,
)
a
a b
b c
c
分别为
1
2
,
L L 的方向向量,由方向向
量线性相关,两直线平行,可知
1
2
,
L L 不平行.
又由
3
3
3
1
2
1
2
1
2
x
a
y
b
z
c
a
a
b
b
c
c
得
3
3
3
1
2
1
2
1
2
1
1
1
x
a
y
b
z
c
a
a
b
b
c
c
,
即
3
1
2
3
1
2
3
1
2
1
2
1
2
1
2
x
a
a
a
y
b
b
b
z
c
c
c
a
a
b
b
c
c
.
同样由
1
1
1
2
3
2
3
2
3
x
a
y
b
z
c
a
a
b
b
c
c
,得
1
1
1
2
3
2
3
2
3
1
1
1
x
a
y
b
z
c
a
a
b
b
c
c
,
即
1
2
3
3
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
x
a
a
a
y
b
b
b
z
c
c
c
a
a
b
b
c
c
,
可见
1
2
,
L L 均过点
2
1
3
2
1
3
2
1
3
,
,
a
a
a b
b
b c
c
c
,故两直线相交于一点,选(A).
(5) 【答案】C
【分析】由题设条件
(
|
)
(
|
)
P B A
P B A
,知A 发生与A 不发生条件下B 发生的条件概
率相等,即A 发生不发生不影响B 的发生概率,故
,
A B 相互独立.而本题选项(A)和(B)是考
虑
(
|
)
P A B 与
(
|
)
P A B 是否相等,选项(C)和(D)才是事件A 与B是否独立.
--- [第 8 页] ---
8
【解析】由条件概率公式及条件
(
|
)
(
|
),
P B A
P B A
知
1
P AB
P AB
P B
P AB
P A
P A
P A
,
于是有
1
P AB
P A
P A
P B
P AB
,
可见
P AB
P A P B
.
应选(C).
【相关知识点】条件概率公式：
|
P AB
P B A
P A
.
三、 (本题满分5分)
【解析】方法1：求直线L 在平面上的投影
0L ：
方法1：
先求L 与的交点
1
N .以
1
,
:
,
1
x
t
L
y
t
z
t
代入平面的方程,得
(1
)
2(1
)
1
0
1
t
t
t
t
.
从而交点为
1(2,1,0)
N
；再过直线L 上点
0(1,0,1)
M
作平面的垂线
1
1
:
1
1
2
x
y
z
L
,
即
1
,
,
1
2 . x
t
y
t
z
t
并求L与平面的交点
2
N ：
1
(1
)
(
)
2(1
2 )
1
0
3
t
t
t
t
,
交点为
2
2 1 1
( , , )
3 3 3
N
.
1
N 与
2
N 的连接线即为所求
0
2
1
:
4
2
1
x
y
z
L
.
方法2：求L 在平面上的投影线的最简方法是过L 作垂直于平面的平面
0
,所求投影
线就是平面与
0
的交线.平面
0
过直线L 上的点(1,0,1) 与不共线的向量
(1,1, 1)
l
(直线L 的方向向量)及
(1, 1,2)
n
(平面的法向量)平行,于是
0
的方程是
--- [第 9 页] ---
9
1
1
1
1
1
0
1
1
2
x
y
z
,即
3
2
1
0
x
y
z
.
投影线为
0
2
1
0,
:
3
2
1
0. x
y
z
L
x
y
z
下面求
0
L 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面S 的方程.为此,将
0
L 写成参数y 的方程：
2 ,
1 (
1).
2
x
y
z
y
按参数式表示的旋转面方程得S 的参数方程为
2
2
2
2
1
(2 )
( (1
)) cos ,
2
,
1
(2 )
( (1
)) sin .
2
x
y
y
y
y
z
y
y
消去得S 的方程为
2
2
2
2
1
2
(
1)
2
x
z
y
y
,即
2
2
2
4
17
4
2
1
四、 (本题满分6分)
【解析】令
4
2
( , )
2
(
) ,
P x y
x
y x
y
2
4
2
( , )
(
) ,
Q x y
x
x
y
则
( , )
( ( , ),
( , ))
A x y
P x y Q x y
在单联通区域右半平面
0
x
上为某二元函数( , )
u x y 的梯度
Pdx
Qdy
在
0
x
上原
函数( , )
u x y
,
0. Q
P x
x
y
其中,
4
2
2
4
2
1
3
2 (
)
(
)
4
Q
x x
y
x
x
y
x
x
,
4
2
4
2
1
2 (
)
2
(
)
2
P
x x
y
xy x
y
y
y
.
由Q
P
x
y
,即满足
4
2
2
4
2
1
3
4
2
4
2
1
2 (
)
(
)
4
2 (
)
2
(
)
2
x x
y
x
x
y
x
x x
y
xy x
y
y
,
4
2
4 (
) (
1)
0
1
x x
y
.
--- [第 10 页] ---
10
可见,当
1
时,所给向量场为某二元函数的梯度场.
为求( , )
u x y ,采用折线法,在
0
x
半平面内任取一点,比如点(1,0) 作为积分路径的起
点,则根据积分与路径无关,有
2
( , )
4
2
(1,0)
2
( , )
x y
xydx
x dy
u x y
C
x
y
2
4
4
2
1
0
2
0
0
x
y
x
x
dx
dy
C
x
x
y
(折线法)
2
4
2
0
y
x
dy
C
x
y
2
2
0
4
2
(1
)
y
x
dy
C
y
x
x
(第一类换元法)
2
2
2
2
2
2
0
0
4
2
2
1
(1
)
(1
)
y
y
x
x
y
y
d
C
d
C
x
x
y
y
x
x
x
2
arctan y
C
x
(基本积分公式)
其中C 为任意常数.
【相关知识点】1.二元可微函数( , )
u x y 的梯度公式：
u
u
gradu
i+
j
x
y
.
2. 定理：设D 为平面上的单连通区域,函数
(
)
P x,y 与
( , )
Q x y 在D 内连续且有连续的一
阶偏导数,则下列六个命题等价：
(1) ,( , )
Q
P
x y
D
x
y
；
(2) 0,
L Pdx
Qdy
L
为D 内任意一条逐项光滑的封闭曲线；
(3) LAB
Pdx
Qdy
仅与点
,
A B 有关,与连接
,
A B 什么样的分段光滑曲线无关；
(4) 存在二元单值可微函数( , )
u x y ,使
du
Pdx
Qdy
(即Pdx
Qdy
为某二元单值可微函数( , )
u x y 的全微分；
(5) 微分方程
0
Pdx
Qdy
为全微分方程；
(6) 向量场P +Q
i
j 为某二元函数( , )
u x y 的梯度
u
P +Q
grad
i
j .
--- [第 11 页] ---
11
换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线
法求函数( , )
u x y .
五、 (本题满分6分)
【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O ,铅直向下作为Oy 轴
正向,探测器在下沉过程中
受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：mg ,浮力的大小：F
B
浮
；阻力：kv
,
则由牛顿第二定律得
2
0
0
2
,
0,
0. t
t
d y
m
mg
B g
kv y
v
dt
(*)
由
2
2
,
dy
d y
dv
dv dy
dv
dy
v
v
v
dv
dt
dt
dt
dy dt
dy
,代入(*)得y 与v 之间的微分方程
1
0
,
0
y
dy
mv
mg
B
kv
v
dv
.
分离变量得
mv
dy
dv
mg
B
kv
,
两边积分得
mv
dy
dv
mg
B
kv
,
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
Bm
m g
Bm
m g
mv
k
k
k
k
y
dv
mg
B
kv
m
Bm
m g
mg
B
kv
k
k
k
dv
mg
B
kv
m g
Bm
m
k
dv
k
mg
B
kv
m
m mg
B
dv
dv
k
k mg
B
kv
1
(
) (
)
(
)
(
)
m mg
B
m
k
v
d mg
B
kv
k
k mg
B
kv
(第一类换元法)
2
(
) ln(
)
m
m mg
B
v
mg
B
kv
C
k
k
.
--- [第 12 页] ---
12
再根据初始条件
0
|
0,
y
v
即
2
2
(
)
(
)
ln(
)
0
ln(
)
m mg
B
m mg
B
mg
B
C
C
mg
B
k
k
.
故所求y 与v 函数关系为
2
ln
.
m mg
B
m
mg
B
kv
y
v
k
k
mg
B
六、(本题满分7分)
【解析】方法1：本题属于求第二类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使被积
区域封闭后用高斯公式进行计算,但由于被积函数分母中包含
1
2
2
2
2
(
)
x
y
z
,因此不能立
即加、减辅助面
2
2
2
1 :
0
x
y
a
z
,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简：
2
2
1
2
2
2
2
(
)
1
(
)
.
(
)
axdydz
z
a
dxdy
I
axdydz
z
a
dxdy
a
x
y
z
添加辅助面
2
2
2
1 :
0
x
y
a
z
,其侧向下(由于为下半球面
2
2
2
z
a
x
y
的上
侧,而高斯公式要求是整个边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和的上侧组成整个
边界区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有
1
1
2
2
2
2
1
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
.
D
I
axdydz
z
a
dxdy
axdydz
z
a
dxdy
a
a
z
a
ax
dV
a dxdy
a
x
z
第一个积分前面加负号是由于我们取边界区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于
1
的方向向下；另外由曲面片
1
在yoz 平面投影面积为零,则
1
0
axdydz
,而
1
上
0
z
,
则
2
2
z
a
a
.
2
1
(
2(
))
D
I
a
z
a dV
a dxdy
a
,
其中为与
1
所围成的有界闭区域, D 为
1
在xoy 面上的投影
2
2
2
{( , ) |
}
D
x y
x
y
a
.
从而,
--- [第 13 页] ---
13
2
2
2
2
0
3
2
2
0
0
1
3
2
1
2
3
2
. 3
D
a
a
r
I
a
dv
zdv a
dxdy
a
a
a
d
rdr
zdz
a
a
a
第一个积分用球体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式.
2
2
2
0
4
2
4
0
0
2
4
2
2
0
0
2
4
2
3
0
0
2
2
4
2
2
4
4
4
0
4
1
1
2
2
2
1
1
2
(
)
2
1
(
)
1
1
2
2
2
4
2
4
1
2
a
a
r
a
a
a
I
a
d
r
z
dr
a
a
a
d
r
a
r
dr
a
a
d
a r
r
dr
a
a r
r
a a
a
a
a
a
a
a
a
a
4
3
4
2 a
方法2：逐项计算：
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
.
axdydz
z
a
dxdy
I
axdydz
z
a
dxdy
a
x
y
z
xdydz
z
a dxdy
I
I
a
其中,
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
,
Dyz
Dyz
Dyz
I
xdydz
a
x
y dydz
a
x
y dydz
a
x
y dydz
第一个负号是由于在x 轴的正半空间区域的上侧方向与x 轴反向；第二个负号是由于被积
函数在x 取负数.
yz
D 为在yoz 平面上的投影域
2
2
2
{( , ) |
,
0}
yz
D
y z
y
z
a
z
,用极坐标,得
2
2
2
1
0
2
2
2
2
0
3
2
2
3
3
2
0
2
1
2
(
)
2
2
2
2
(
)
(0
)
,
3
3
3
a
a
a
I
d
a
r rdr
a
r d a
r
a
r
a
a
--- [第 14 页] ---
14
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
3
0
2
2
2
3
0
0
0
4
2
2
3
0
0
4
4
4
1
1
(
)
1
(2
2
)
2
(2
2
)
2
2
2
2
1
2
3
4
2
2
(
3
Dxy
a
a
a
a
a
a
a
I
z
a dxdy
a
a
x
y
dxdy
a
a
d
a
a a
r
r
rdr
a
a r
ar a
r
r
dr
a
a rdr
a
r a
r dr
r dr
a
r
a r
a
a
a
a
a
a
a
3
)
,
4
6 a
其中
yz
D 为在yoz 平面上的投影域
2
2
2
{( , ) |
}
yz
D
y z
y
z
a
.故
3
1
2
. 2
I
I
I
a
【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数
( , , )
P x y z 、
( , , )
Q x y z 、
( , , )
R x y z 在上具有一阶连续偏导数,则有
,
P
Q
R dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
x
y
z
或
cos
cos
cos
,
P
Q
R dv
P
Q
R
dS
x
y
z
这里是的整个边界曲面的外侧,cos、cos 、cos是在点( , , )
x y z 处的法向量的
方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.
七、(本题满分6分)
【分析】这是n 项和式的极限,和式极限通常的方法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则
求极限；二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种方法结合
到一起来求极限.
当各项分母均相同是n 时, n 项和式
2
sin
sin
sin
n
n
n
n
n
x
n
n
n
是函数sin
x
在[0,1]区间上的一个积分和.于是可由定积分
1
0 sin
xdx
求得极限lim
n
n
x
.
【解析】由于
sin
sin
sin
,
1,2,
,
1
1
i
i
i
n
n
n
i
n
n
n
n
i
,
--- [第 15 页] ---
15
于是,
1
1
1
sin
sin
sin
1
1
n
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
n
n
i
.
由于
1
0
1
1
sin
1
2
lim
lim
sin
sin
n
n
n
n
i
i
i
i
n
xdx
n
n
n
,
1
0
1
1
1
sin
1
1
2
lim
lim
sin
lim
sin
sin
1
1
n
n
n
n
n
n
i
i
i
i
n
i
i
n
xdx
n
n
n
n
n
n
根据夹逼定理知,
1
sin
2
lim
1
n
n
i
i
n
n
i
.
【相关知识点】夹逼准则：若存在N ,当n
N
时,
n
n
n
y
x
z
,且有lim
lim
n
n
n
n
y
z
a
,
则lim
n
n
x
a
.
八、(本题满分5分)
【解析】方法1：因正项数列
na
单调减少有下界0,知极限lim
n
n
a
存在,记为a ,则
na
a
且
0
a
.
又
1
( 1)n
n
n
a
发散,根据莱布尼茨判别法知,必有
0
a
(否则级数
1
( 1)n
n
n
a
收敛).
又正项级数
na
单调减少,有
1
1
,
1
1
n
n
na
a
而
1
0
1
1
a
,级数
1
1
(
)
1
n
n
a
收敛.根据正项级数的比较判别法,知级数
1
1
(
)
1
n
n
na
也收敛.
方法2：同方法1,可证明lim
0
n
n
a
a
.令
1
,
1
n
n
n
b
a
则
1
1
lim
lim
1,
1
1
n
n
n
n
n
b
a
a
根据根值判别法,知级数
1
1
(
)
1
n
n
na
也收敛.
【相关知识点】1.交错级数的莱布尼茨判别法：
--- [第 16 页] ---
16
设交错级数
1
1
( 1)n
n
n
u
满足：
(1) 1,
1,2,
;
n
n
u
u
n
0. n
n
u
则
1
1
( 1)n
n
n
u
收敛,且其和满足
1
1
1
0
( 1)
,
n
n
n
u
u
余项
1. n
n
r
u
反之,若交错级数
1
1
( 1)n
n
n
u
发散,只是满足条件(1),则可以反证说明此级数一定不满足
条件(2)lim
0
n
n
u
,所以有lim
0. n
n
u
(否则级数
1
1
( 1)n
n
n
u
收敛)
2. 正项级数的比较判别法：
设
1
n
n
u
和
1
n
n
v
都是正项级数,且lim
,
n
n
n
v
A
u
则
(1) 当0
A
时,
1
n
n
u
和
1
n
n
v
同时收敛或同时发散；
(2) 当
0
A
时,若
1
n
n
u
收敛,则
1
n
n
v
收敛；若
1
n
n
v
发散,则
1
n
n
u
发散；
(3) 当A 时,若
1
n
n
v
收敛,则
1
n
n
u
收敛；若
1
n
n
u
发散,则
1
n
n
v
发散.
3. 根值判别法：
设
0
n
u
,则当
1
1
1
,
lim
1
,
lim
0,
1
,
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
u
u
u
时
收敛，
时
发散，且
时
此判别法无效
九、(本题满分6分)
【解析】(1)要证
0
(0,1)
x
,使
0
1
0
0
(
)
( )
x
x f x
f x dx
；令
1
( )
( )
( )
x
x
xf x
f t dt
,要证
0
(0,1)
x
,使
0
(
)
0
x
.可以对( )
x
的原函数
0
( )
( )
x
x
t dt
使用罗尔定理：
(0) 0
,
--- [第 17 页] ---
17
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
(1) ( )
( )
(
( )
)
( )
( )
( )
0,
x
x
x
x
x dx
xf x dx
f t dt dx
xf x dx
x
f t dt
xf x dx
分部
又由
( )
f x 在[0,1] 连续
( )x
在[0,1] 连续,
( )x
在[0,1] 连续,在(0,1) 可导.根据罗尔定
理,
0
(0,1)
x
,使
0
0
(
)
(
)
0
x
x
.
(2) 由
( )
( )
( )
( )
( )
2 ( )
0
x
xf
x
f x
f x
xf
x
f x
,知( )
x
在(0,1) 内单调增,故(1)
中的
0x 是唯一的.
评注：若直接对( )
x
使用零点定理,会遇到麻烦：
1
0
(1) 0
f t dt
f
.
当
( )
0
f x
时,对任何的
0
(0,1)
x
结论都成立；
当
( )
f x 0 时, (0)
0,
但(1)
0
,若(1)
0
,则难以说明在(0,1) 内存在
0x .当直
接对( )
x
用零点定理遇到麻烦时,不妨对( )
x
的原函数使用罗尔定理.
【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数
( )
f x 满足
(3) 在区间端点处的函数值相等,即
( )
( )
f a
f b
,
那么在( , )
a b 内至少有一点( a
b
),使得
( )
0
f
.
十、(本题满分6分)
【解析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似.由题设知,
二次曲面方程左端二次型对应矩阵为
1
1
1
1
1
1
b
A
b
a
,则存在正交矩阵P ,使得
1
0
0
0
0
1
0
0
0
4
P AP
B
记
,
--- [第 18 页] ---
18
即A
B
与
相似.
由相似矩阵有相同的特征值,知矩阵A 有特征值0,1,4.从而,
2
1
1
0 1
4,
3,
0. a
a
b
A
b
B
从而,
1
1
1
1
3 1 .
1
1
1
A
当
1
0
时,
1
1
1
0
1
3
1
1
1
1
E
A
1
( 1)
2 3
行
分别加到，行
1
1
1
0
2
0
0
0
0
于是得方程组(0
)
0
E
A x
的同解方程组为
1
2
3
2
0,
2
0. x
x
x
x
(0
)
2
r
E
A
,可知基础解系的个数为
(0
)
3
2
1
n
r
E
A
,故有1个自由未知量,
选
1x 为自由未知量,取
1
1
x
,解得基础解系为
1
(1,0, 1) .
T
当
2
1
时,
0
1
1
1
2
1
1
1
0
E
A
3 ( 1)
2
加到行
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
( 1)
2
行
加到行
0
1
1
0
0
0
1
1
0
2 3
，行互换
0
1
1
1
1
0
0
0
0
,
于是得方程组(
)
0
E
A x
的同解方程组为
2
3
1
2
0,
0. x
x
x
x
(
)
2
r E
A
,可知基础解系的个数为
(
)
3
2
1
n
r E
A
,故有1个自由未知量,
选
1x 为自由未知量,取
1
1
x
,解得基础解系为
2
(1, 1,1) .
T
当
3
4
时,
--- [第 19 页] ---
19
3
1
1
4
1
1
1
1
1
3
E
A
1 2
，行互换
1
1
1
3
1
1
1
1
3
1
行的3,(-1)倍分别加到2，3行
1
1
1
0
2
4
0
2
4
2
3
行加到行
1
1
1
0
2
4
0
0
0
,
于是得方程组(4
)
0
E
A x
的同解方程组为
1
2
3
2
3
0,
2
4
0. x
x
x
x
x
(4
)
2
r
E
A
,可知基础解系的个数为
(4
)
3
2
1
n
r
E
A
,故有1个自由未知量,
选
2x 为自由未知量,取
2
2
x
,解得基础解系为
3
(1,2,1) .
T
由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,可知
1
2
3
,
,
相互正交.
将
1
2
3
,
,
单位化,得
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
1
(
,0,
) ,
2
2
1
1
1
(
,
,
) ,
3
3
3
1
2
1
(
,
,
) .
6
6
6
T
T
T
因此所求正交矩阵为
1
1
1
2
3
6
1
2
0
3
6
1
1
1
2
3
6
P
.
评注：利用相似的必要条件求参数时,
ii
ii
a
b
是比较好用的一个关系式.亦可用
E
A
E
B
比较同次方的系数来求参数.
【相关知识点】1.特征值的性质：
1
1
n
n
i
ii
i
i
a
2. 相似矩阵的性质：若矩阵A
B
与
相似,则A
B
.
十一、(本题满分4分)
--- [第 20 页] ---
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20
【解析】用线性无关的定义证明.
设有常数
0
1
1
,
,
,
,
k
使得
1
0
1
1
0. ( )
k
k
A
A
两边左乘
1
k
A ,则有
1
1
0
1
1
0
k
k
k
A
A
A
,
即
1
2(
1)
0
1
1
0
k
k
k
k
A
A
A
.
上式中因
0
k
A
,可知
2
1
1
0
k
k
A
A
,代入上式可得
1
0
0. k
A
由题设
1
0
k
A
,所以
0
0.
将
0
0
代入( )
,有
1
1
1
0
k
k
A
A
.
两边左乘
2
k
A ,则有
2
1
1
1
0
k
k
k
A
A
A
,
即
1
2
3
1
1
0
k
k
k
A
A
.
同样,由
0
k
A
,
2
1
1
0
k
k
A
A
,可得
1
1
0. k
A
由题设
1
0
k
A
,所以
1
0.
类似地可证明
2
1
0,
k
因此向量组
1
,
,
,
k
A
A
是线性无关的.
【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数
1
2
m
k ,k ,
,k
使
1
1
2
2
0
m
m
k
k
k
,则称
1
2
m
,
,
,
线性相关；否则,称
1
2
m
,
,
,
线性无关．
十二、(本题满分5分)
【解析】(
)
II 的通解为
1 1
2
2
n
n
k
k
k
,
其中,
1
11
12
1,2
(
,
,
,
) ,
T
n
a
a
a
2
21
22
2,2
(
,
,
,
) ,
,
T
n
a
a
a
1
2
,2
(
,
,
,
)T
n
n
n
n
n
a
a
a
,
1
2
,
,
,
n
k k
k
为任意常数.
理由：可记方程组
2
2
( )
0, (
)
0,
n
n
n
n
I A
X
II B
Y
( )I ,(
)
II 的系数矩阵分别记为
,
A B ,由
于B 的每一行都是
2
0
n
n
A
X
的解,故
0
T
AB
.
T
B 的列是( )I 的基础解系,故由基础解系
--- [第 21 页] ---
21
的定义知,
T
B 的列向量是线性无关的,因此( )
r B
n
.故基础解系所含向量的个数
2
( )
n
n
r A
,得( )
2
r A
n
n
n
.因此, A 的行向量线性无关.
对
0
T
AB
两边取转置,有
0
T
T
T
AB
BA
,则有
T
A 的列向量,即A 的行向量是
0
BY
的线性无关的解.
又( )
r B
n
,故
0
BY
基础解系所含向量的个数应为2
( )
2
n
r B
n
n
n
,恰好等
于A 的行向量个数.故A 的行向量组是
0
BY
的基础解系,其通解为
1 1
2
2
n
n
k
k
k
,
其中,
1
11
12
1,2
(
,
,
,
) ,
T
n
a
a
a
2
21
22
2,2
(
,
,
,
) ,
,
T
n
a
a
a
1
2
,2
(
,
,
,
)T
n
n
n
n
n
a
a
a
,
1
2
,
,
,
n
k k
k
为任意常数.
十三、(本题满分6分)
【分析】把X
Y
看成一个随机变量,根据独立正态随机变量的线性组合必然为正态分布的
性质,可以知道
N(0,1)
X
Y
,这样可以简化整题的计算.
【解析】令Z
X
Y
,由于
,
X Y 相互独立,且都服从正态分布,因此Z 也服从正态分布,且
( )
(
)
( )
0
E Z
E X
E Y
,
1
1
( )
(
)
( )
1
2
2
D Z
D X
D Y
.
于是,
(0,1)
Z
X
Y
N
.
2
2
2
2
2
( )
1
. D X
Y
D Z
E Z
E Z
D Z
E Z
E Z
E Z
而
2
2
2
2
0
1
2
2
2
z
z
E Z
z
e
dz
ze
dz
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
z
z
z
e
d
e
,
故
2
1
. D X
Y
【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态
分布.
若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有
(
)
(
)
( )
E aX
bY
c
aE X
bE Y
c
,
--- [第 22 页] ---
22
2
2
(
)
(
)
( )
D aX
bY
c
a D X
b D Y
,
其中, ,
a b c 为常数.
2. 方差的定义：
2
2
(
)
DX
EX
EX
.
3. 随机变量函数期望的定义：若
(
)
Y
g X
,则
( ) ( )
EY
g x f x dx
.
十四、(本题满分4分)
【解析】由题知：
2
1
2
,
,
,
~
(3.4,6 )
n
X
X
X
N
,
1
1
n
n
i
i
X
X
n
,各样本相互独立,根据独立
正态随机变量的性质,
2
1
1
~
( ,
)
n
n
i
i
X
X
N
n
.其中
1
1
n
n
i
i
EX
E
X
n
,
2
1
1
n
n
i
i
DX
D
X
n
.
根据期望和方差的性质,
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
6 . n
n
n
i
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
n
EX
E
X
EX
n
n
n
n
DX
D
X
D
X
DX
n
n
n
n
n
所以,
2
1
1
6
~
(3.4,
)
n
n
i
i
X
X
N
n
n
.把
n
X 标准化,
3. 4 ~
(0,1)
6/
n
X
U
N
n
.
从而,
0. 95,
6
6
3
P
P
P
P
n
n
P
n
故
0. 975,
3
n
查表得到
34. 57,
n
所以n 至少应取35.
【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态
分布.
若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有
(
)
(
)
( )
E aX
bY
c
aE X
bE Y
c
,
--- [第 23 页] ---
23
2
2
(
)
(
)
( )
D aX
bY
c
a D X
b D Y
,
其中, ,
a b c 为常数.
2. 若
2
~
( ,
)
Z
N u
,则
~
(0,1)
Z
u
N
十五、(本题满分4分)
【解析】设该次考试的考生成绩为X ,则
2
~
( ,
)
X
N
,设X 为从总体X 抽取的样本容量
为n 的样本均值, S 为样本标准差,则在显著性水平
0. 05
下建立检验假设：
0
0
1
:
70,
:
70,
H
H
由于
2
未知,故用t 检验.
选取检验统计量,
0
70
36
X
X
T
n
S
S
在
0
70
时,
2
~
(70,
),
~ (35).
X
N
T
t
选择拒绝域为
R
T
,其中满足：
2. 0301.
P T
t
由
0
36,
66. 5,
70,
15,
n
x
s
可算得统计量T 的值：
2. 0301
15
t
.
所以接受假设
0 :
70
H
,即在显著性水平0.05下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩
为70分.