1994考研数一真题解析【闲鱼号“非凡小翊”持续更新中】【闲鱼号：非凡小翊】

(1) 【答案】1 6 【解析】原式变形后为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点0 处导数都存在,所以连 续应用两次洛必达法则,有 原式 2 0 cos ( sin ) lim sin x x x x x x    3 0 0 sin limcos lim x x x x x x      2 0 0 1 cos sin 1 lim lim 3 6 6 x x x x x x       . (由重要极限 0 sin lim 1 x x x   )

(2) 【答案】2 4 0 x y    【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点(1,2,0) 处法线方向的方向向量l , 取n l  ,又平面过已知点 (1,2,0) M . 已知平面的法向量( , , ) A B C 和过已知点 0 0 0 ( , , ) x y z 可唯一确定这个平面： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z       . 因点(1,2,0) 在曲面 ( , , ) 0 F x y z  上.曲面方程 ( , , ) 2 3 z F x y z z e xy     . 曲面在该点的法向量       (1,2,0) (1,2,0) , , 2 ,2 ,1 4,2,0 2 2,1,0 z F F F n y x e x y z                  , 故切平面方程为2( 1) ( 2) 0 x y     , 即2 4 0 x y    .

(3) 【答案】 2 2e  【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先 求u y   ,再求 u x y           . 2 cos x u x x e y y y     ,   2 2 2 1 1 1 2 (2, ) (2, ) 2 cos x y x x u u u xe x x y y x x y x                                --- [第 2 页] --- 2 2 2 2 ( (1 )cos ) 0 x x e x x e          . (可边代值边计算,这样可以简化运算量.) 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 ( , ), ( , ) u x y v x y     都在点( , ) x y 具 有对x 及对y 的偏导数,函数 ( , ) z f u v  在对应点( , ) u v 具有连续偏导数,则复合函数 ( ( , ), ( , )) z f x y x y    在点( , ) x y 的两个偏导数存在,且有 1 2 z z u z v u v f f x u x v x x x                  ； 1 2 z z u z v u v f f y u y v y y y                  .

(4) 【答案】 4 2 2 1 1 ( ) 4 R a b   【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算： 原式 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 0 0 0 0 cos sin cos sin R R d r rdr d r dr a b a b                              . 注意： 2 2 2 2 0 0 cos sin d d          , 则 原式 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 R R a b a b                    .

(5) 【答案】 1 1 1 1 2 3 2 3 2 1 3 3 3 1 2 n                   【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1 1 1 1, , 2 3 2 3 3 T            是一个数, 而 1 1 1 2 3 1 1 1 2 2 1, , 2 1 2 3 3 3 3 3 1 2 T A                                  ,(是一个三阶矩阵) --- [第 3 页] --- 于是,      ( )( )( ) ( ) n T T T T T T T T A            1 1 1 1 1 2 3 2 3 3 2 1 3 3 3 1 2 n T n                        .

(1) 【答案】(D) 【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性. 由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分 为0,故 0 M  ,且 由定积分的性质,如果在区间  ,a b 上,被积函数 ( ) 0 f x  ,则 ( ) 0 ( ) b a f x dx a b    . 所以 4 2 0 2 cos 0 N xdx     , 4 2 0 2 cos 0 P xdx N      . 因而P M N   ,应选(D).

(2) 【答案】(D) 【解析】( , ) f x y 在点 0 0 ( , ) x y 连续不能保证 ( , ) f x y 在点 0 0 ( , ) x y 存在偏导数 0 0 ( , ), xf x y  0 0 ( , ) yf x y  .反之, ( , ) f x y 在点 0 0 ( , ) x y 存在这两个偏导数 0 0 ( , ), xf x y  0 0 ( , ) yf x y  也不能保 证 ( , ) f x y 在点 0 0 ( , ) x y 连续,因此应选(D). 二元函数 ( , ) f x y 在点 0 0 ( , ) x y 处两个偏导数存在和在点 0 0 ( , ) x y 处连续并没有相关性.

(3) 【答案】(C) 【解析】考查取绝对值后的级数.因 2 2 2 2 2 ( 1) | | 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n a a a n n n           , (第一个不等式是由 2 2 1 0, 0, ( ) 2 a b ab a b     得到的.) 又 2 1 n n a   收敛, 2 1 1 2 n n     收敛,(此为p 级数： 1 1 p n n   当 1 p 时收敛；当 1 p  时发散.) --- [第 4 页] --- 所以 2 2 1 1 1 2 2 n n a n     收敛,由比较判别法,得 2 1 ( 1) | | n n n a n        收敛. 故原级数绝对收敛,因此选(C).

(4) 【答案】(D) 【解析】因为 2 2 2 1 1 cos ( ),1 ( ) 2 x x x o x e x o x        , 故 tan (1 cos ) ( 0) a x b x ax a     , 2 ln(1 2 ) (1 ) 2 ( 0) x c x d e cx c        , 因此,原式左边 0 lim 2 2 2 x ax a cx c        原式右边, 4 a c   . 当 0, 0 a c   时,极限为0； 当 0, 0 a c   时,极限为,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较： 设在同一个极限过程中, ( ), ( ) x x   为无穷小且存在极限 ( ) lim . ( ) x l x    （1） 若 0, l  称 ( ), ( ) x x   在该极限过程中为同阶无穷小； （2） 若 1, l  称 ( ), ( ) x x   在该极限过程中为等价无穷小,记为 ( ) ( ) x x    ； （3） 若 0, l  称在该极限过程中 ( ) x  是 ( )x  的高阶无穷小,记为   ( ) ( ) x o x    . 若 ( ) lim ( ) x x   不存在(不为),称 ( ), ( ) x x   不可比较.

2. 无穷小量的性质：当 0 x x  时, ( ), ( ) x x   为无穷小,则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) x x x x o x          .

(5) 【答案】(C) 【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于     1 2 2 3 3 4 4 1 0                 ,所以(A)线性相关. (B)：由于     1 2 2 3 3 4 4 1 0                 ,所以(B)线性相关. 对于(C),实验几组数据不能得到0 时,应立即计算由的系数构成的行列式,即 --- [第 5 页] --- 1 0 0 1 1 1 0 0 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1    , 由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由 1 2 2 3 3 4 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0                 , 知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C). 【相关知识点】 1 2 , , , s    线性相关的充分必要条件是存在某 ( 1,2, , ) i i s    可以由 1 1 1 , , , , i i s         线性表出. 1 2 , , , s    线性无关的充分必要条件是任意一个 ( 1,2, , ) i i s    均不能由 1 1 1 , , , , i i s         线性表出.

(1) 【解析】dy dy dt dy dx dt dt dx dt dx    2 2 2 2 2 1 cos 2 sin cos 2 2 ( 0), 2 sin t t t t t t t y t t t x t t           同理 2 ( ) 1 2 sin x t xx t y y x t t      , 代入参数值 2 t   , 则 2 2 x t y      , 2 1 2 xx t y      . 【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果 ( ) u g x  在点x 可导,而 ( ) y f x  在点 ( ) u g x  可导,则复合函数   ( ) y f g x  在点x 可导,且其导数为 ( ) ( ) dy f u g x dx     或 dy dy du dx du dx   .

2. 对积分上限的函数的求导公式：若 ( ) ( ) ( ) ( ) t t F t f x dx    , ( )t  , ( )t  均一阶可导,则     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F t t f t t f t            . --- [第 6 页] ---

(2) 【解析】 1 1 1 ( ) ln(1 ) ln(1 ) arctan 4 4 2 f x x x x x       . 先求 ( ) f x  的展开式.将 ( ) f x 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数 展开.所以由 2 ( 1) ( 1) ( 1) (1 ) 1 , 2! ! n n x x x x n                  ( 1 1) x   该级数在端点 1 x 处的收敛性,视而定.特别地,当 1 时,有 2 3 1 1 ( 1) , 1 n n x x x x x          ( 1 1) x   2 3 1 1 , 1 n x x x x x          ( 1 1) x   得 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 f x x x x x x             4 4 4 0 1 1 1 1 (| | 1) 1 n n n n x x x x            , 积分,由牛顿-莱布尼茨公式得 4 1 4 0 0 1 1 ( )

(0) ( ) (| | 1) 4 1 n x x n n n x f x f f x dx t dt x n                 .

(3) 【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 2 2sin cos      ,并利用换元积分, 结合拆项法求积分,得 sin 2 2sin 2sin (cos 1) dx dx x x x x      2 2 sin 1 1 cos 2sin (cos 1) 2 (1 )(1 ) xdx x u du x x u u         ( 2 2 sin 1 cos x x  ) 2 2 1 (1 ) (1 ) 1 1 1 2 ( ) 4 (1 )(1 ) 8 1 1 (1 ) u u du du u u u u u               1 2 ln |1 | ln |1 | 8 (1 ) u u C u                  1 2 ln 1 cos ln 1 cos 8 1 cos x x C x              , 其中C 为任意常数. 方法2：换元cos x u  后,有 原式 2 2 sin 1 2sin (cos 1) 2sin (cos 1) 2 (1 )(1 ) dx xdx du x x x x u u           . 淘宝店铺：光速考研工作室 --- [第 7 页] --- 用待定系数法将被积函数分解: 2 2 1 (1 )(1 ) 1 1 (1 ) A B D u u u u u         2 2 ( ) (2 ) ( ) (1 )(1 ) A B u A D u A B D u u          , 0 1 1 2 0 , 4 2 1 A B A D A B D A B D                  . 于是, 2 1 1 1 2 1 2 ( ) ln 1 ln 1 8 1 1 (1 ) 8 1 du u u C u u u u                     原式＝     1 2 ln 1 cos ln 1 cos 8 1 cos x x C x              .

为第一类曲面积分,再化 为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分. 这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若垂直yOz 平面,则 0 Pdydz    .化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性. 先把积分化简后利用高斯公式也很方便的. 方法1：注意 2 2 2 2 0 S z dxdy x y z     ,(因为S 关于xy 平面对称,被积函数关于z 轴对称) 所以 2 2 2 S xdydz I x y z     . S 由上下底圆及圆柱面组成.分别记为 1 2 3 , , S S S . 1 2 , S S 与平面yOz 垂直 1 2 2 2 2 2 2 2 0 s s xdydz xdydz x y z x y z         . 在 3 S 上将 2 2 2 x y R   代入被积表达式 3 2 2 s xdydz I R z    . 3 S 在yz 平面上投影区域为 : , yz D R y R R z R       ,在 3 S 上, 2 2 x R y   , 3 S 关 淘宝店铺：光速考研工作室 --- [第 8 页] --- 于yz 平面对称,被积函数对x 为奇函数,可以推出 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 yz R R D R y dz I dydz R y dy R z R z            2 2 0 1 arctan 4 2 R z R R R R       . 方法2：S 是封闭曲面,它围成的区域记为,记 2 2 S xdydz I R z    . 再用高斯公式得 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 R R D z x dxdy I dV dV dz x R z R z R z                     2 2 2 2 0 1 1 2 2 R R dz R R z       (先一后二的求三重积分方法) 其中 ( ) D z 是圆域： 2 2 2 x y R   . 【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数 ( , , ) P x y z 、 ( , , ) Q x y z 、 ( , , ) R x y z 在上具有一阶连续偏导数,则有 , P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z                      或   cos cos cos , P Q R dv P Q R dS x y z                         这里是的整个边界曲面的外侧,cos、cos 、cos是在点( , , ) x y z 处的法向量的 方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.

[ ( ) ] xy x y f x y f x x y y x          , 即 2 2 ( ) ( ) 2 x xy f x f x xy      ,亦即 2 ( ) ( ) f x f x x    . 因而是初值问题 2 0 0 , 0, 1, x x y y x y y            的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的 齐次方程的特征方程为 2 1 0 r  的根为1,2 r i ,原方程右端 2 0 2 x x e x   中的 0  ,不同 --- [第 9 页] --- 于两个特征根,所以方程有特解形如 2 Y Ax Bx C    . 代入方程可求得 1, 0, 2 A B C    ,则特解为 2 2 x  . 由题给

(0) 0,

(0) 1 f f    ,解得 2 ( ) 2cos sin 2 f x x x x     . ( ) f x 的解析式代入原方程,则有 2 2 [ 2 (2cos sin ) ] [ 2 2sin cos ] 0 xy y x x y dx x y x x x dy         . 先用凑微分法求左端微分式的原函数： 2 2 2 2 1 1 ( ) 2( ) (2sin cos ) (2sin cos ) 0 2 2 y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy         , 2 2 1 ( 2 (cos 2sin )) 0 2 d x y xy y x x     . 其通解为 2 2 1 2 (cos 2sin ) 2 x y xy y x x C     其中C 为任意常数. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 *( ) y x 是二阶线性非齐次方程 ( ) ( ) ( ) y P x y Q x y f x      的一个特解. ( ) Y x 是与之对应的齐次方程 ( ) ( ) 0 y P x y Q x y      的通解,则 * ( ) ( ) y Y x y x   是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 ( ) Y x ,可用特征方程法求解：即 ( ) ( ) 0 y P x y Q x y      中的 ( ) P x 、 ( ) Q x 均是常数,方程 变为 0 y py qy      .其特征方程写为 2 0 r pr q    ,在复数域内解出两个特征根1 2 , r r ； 分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根1 2 , r r ,则通解为 1 2 1 2 ; rx r x y C e C e  

(2) 两个相等的实数根1 2 r r  ,则通解为   1 1 2 ; rx y C C x e  

(3) 一对共轭复根1,2 r i     ,则通解为   1 2 cos sin . x y e C x C x      其中 1 2 , C C 为常数.

3. 对于求解二阶线性非齐次方程 ( ) ( ) ( ) y P x y Q x y f x      的一个特解 *( ) y x ,可用待定 系数法,有结论如下： 如果 ( ) ( ) , x m f x P x e  则二阶常系数线性非齐次方程具有形如 *( ) ( ) k x m y x x Q x e  的特解,其中 ( ) m Q x 是与 ( ) m P x 相同次数的多项式,而k 按不是特征方程的根、是特征方 程的单根或是特征方程的重根依次取0、1 或2. --- [第 10 页] --- 如果 ( ) [ ( )cos ( )sin ] x l n f x e P x x P x x      ,则二阶常系数非齐次线性微分方程 ( ) ( ) ( ) y p x y q x y f x      的特解可设为 *

(1)

(2) [ ( )cos ( )sin ] k x m m y x e R x x R x x      , 其中

(1) ( ) m R x 与

(2) ( ) m R x 是m 次多项式,   max , m l n  ,而k 按 i    (或 i    )不是特征 方程的根、或是特征方程的单根依次取为0 或1. 六、(本题满分8 分) 【解析】 0 ( ) lim 0 x f x x   表明 0 x  时 ( ) f x 是比x 高阶的无穷小,若能进一步确定 ( ) f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小, 1, p  从而 1 ( ) f n 也是1 n 的p 阶或高于p 阶的无穷小,这就 证明了级数 1 1 ( ) n f n   绝对收敛. 方法一：由 0 ( ) lim 0 x f x x   及 ( ) f x 的连续性得知

(0) 0,

(0) 0 f f    ,再由 ( ) f x 在点 0 x  的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则, 2 0 ( ) lim x f x x  为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分 子分母在点0 处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 lim lim lim

(0) 2 2 2 x x x f x f x f x f x x           2 0 ( ) 1 lim

(0) 2 x f x f x     . 由函数极限与数列极限的关系 2 1 ( ) 1 lim

(0) 1 2 n f n f n     . 因 2 1 1 n n   收敛 1 1 ( ) n f n    收敛,即 1 1 ( ) n f n   绝对收敛. 方法二：由 0 ( ) lim 0 x f x x   得知

(0) 0,

(0) 0 f f    ,可用泰勒公式来实现估计. ( ) f x 在点 0 x  有泰勒公式： 2 2 1 1 ( )

(0)

(0) ( ) ( ) (0 1, [ , ]) 2 2 f x f f x f x x f x x x               因 ( ) f x 在点 0 x  的某一领域内具有二阶连续导数, --- [第 11 页] --- 0, ( ) f x     在 [ , ] x   有界,即 0 M   ,有| ( ) | , [ , ] f x M x     2 2 1 1 ( ) ( ) , [ , ] 2 2 f x f x x Mx x        . 对此 0  , , N n N   时, 2 1 1 1 1 0 ( ) 2 f M n n n      . 又 2 1 1 n n   收敛 1 1 ( ) n f n    收敛,即 1 1 ( ) n f n   绝对收敛. 【相关知识点】正项级数的比较判别法： 设 1 n n u   和 1 n n v   都是正项级数,且lim , n n n v A u   则 ⑴当0 A  时, 1 n n u   和 1 n n v   同时收敛或同时发散； ⑵当 0 A  时,若 1 n n u   收敛,则 1 n n v   收敛；若 1 n n v   发散,则 1 n n u   发散； ⑶当A 时,若 1 n n v   收敛,则 1 n n u   收敛；若 1 n n u   发散,则 1 n n v   发散. 七、(本题满分6 分) 【解析】方法1：用定积分. 设高度为z 处的截面 z D 的面积为( ) S z ,则所求体积 1 0 ( ) V S z dz  . , A B 所在的直线的方向向量为    0 1,1 0,1 0 1,1,1     ,且过A 点, 所以 , A B 所在的直线方程为 1 1 1 1 x y z     或 1 x z y z      . 截面 z D 是个圆形,其半径的平方 2 2 2 2 2 (1 ) R x y z z      ,则面积 2 2 2 ( ) [(1 ) ] S z R z z       , 由此 1 2 2 0 [(1 ) ] V z z dz        1 2 0 1 2 2 z z dz      1 2 3 0 2 3 z z z          2 3   . 方法2：用三重积分. 2 2 2 1 (1 ) 0 0 0 2 3 z z V dV d dz rdr              , --- [第 12 页] --- 或者 1 1 2 2 0 0 [(1 ) ] z D V dV dz d z z dz               1 2 0 1 2 2 z z dz      1 2 3 0 2 3 z z z          2 3   . 八、(本题满分8 分) 【解析】(1)由已知,( )的系数矩阵, 1 1 0 0 0 1 0 1 A        . 由于 ( ) 2, n r A   所以解空间的维数是2. 取 3 4 , x x 为自由变量,分别令     3 4 , 1,0 , 0,1 x x  ,求出 0 Ax  的解. 故( )的基础解系可取为(0,0,1,0),( 1,1,0,1)  .

(2) 方程组( )和( )  有非零公共解. 将( ) 的通解 1 2 2 1 2 3 1 2 4 2 , 2 , 2 , x k x k k x k k x k       代入方程组( ),则有 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0 2 0 k k k k k k k k             . 那么当 1 2 0 k k   时,向量 1 2 1 (0,1,1,0) ( 1,2,2,1) (1, 1, 1, 1) k k k     是( )与( ) 的非 零公共解. 九、(本题满分6 分) 【解析】证法一：由于 * T A A  ,根据 * A 的定义有 ( , 1,2, , ) ij ij A a i j n    L ,其中 ij A 是行列式| | A 中 ij a 的代数余子式. 由于 0 A  ,不妨设 0 ij a  ,那么 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 | | 0 ij i i i i in in i i in A a A a A a A a a a a           L L , 故| | 0 A  . 证法二：(反证法)若| | 0 A  ,则 * T AA AA  | | 0 A E  . 设A 的行向量为 ( 1,2, , ) i i n   L ,则 2 2 2 1 2 0 T i i i i in a a a       L ( 1,2, , ) i n  L . --- [第 13 页] --- 于是 1 2 ( , , , ) 0 i i i in a a a   L ( 1,2, , ) i n  L . 进而有 0 A  ,这与A 是非零矩阵相矛盾.故| | 0 A  . 十、填空题(本题共2 小题, 每小题3 分,满分6 分.)

(1) 【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有 ( ) ( ) 1 ( ) P AB P A B P A B   U U 1 [ ( ) ( ) ( )] P A P B P AB    1 ( ) ( ) ( ) P A P B P AB    . 因题目已知 ( ) ( ) P AB P AB  ,故有 ( ) ( ) 1 P A P B   , ( ) 1 ( ) 1 P B P A p   .

(2) 【解析】由于X 、Y 相互独立且同分布,只能取0、1 两个数值,易见随机变量   max , Z X Y  只取0 与1 两个可能的值,且       0 max , 0 P Z P X Y          1 0, 0 0 0 4 P X Y P X P Y         ,     3 1 1 0 4 P Z P Z     . 所以随机变量   max , Z X Y  的分布律为： Z 0 1 P 1 4 3 4 十一、(本题满分6 分) 【解析】此题的第一小问是求数学期望 ( ) E Z 和方差 ( ) D Z ,是个常规问题；(2)求相关系数 XZ  ,关键是计算X 与Z 的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.

(1) 由 2 (1,3 ) X N  , 2 (0,4 ) Y N  ,知 ( ) 1, ( ) 9, ( ) 0, ( ) 16 E X D X E Y D Y     . 由数学期望和方差的性质： ( ) ( ) ( ) E aX bY c aE X bE Y c      , 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 Cov( , ) D aX bY c a D X b D Y ab X Y      , --- [第 14 页] --- 其中, , a b c 为常数. 得 1 1 1 , 3 2 3 EZ EX EY    1 1 1 Cov( , ) 9 4 3 DZ DX DY X Y    1 1 1 9 16 ( ) ( ) 9 4 3 XY D X D Y        1 1 5 ( ) 3 4

3. 3 2     

(2) 因为 1 1 Cov( , ) Cov( , ) 3 2 X Z X X Y   1 1 Cov( , ) Cov( , ) 3 2 X X X Y   2 1 1 3 ( 6) 0 3 2      所以 Cov( , ) 0 XZ X Z DX DZ    .

(3) 由于( , ) X Y 服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而 3 2 X Y Z   , 0 X X Y   ,故X 和Z 都是其线性组合,则( , ) X Z 服从二维正态分布,根据 ( , ) 0 XZ Cov X Z DX DZ    ,所以X 与Z 是相互独立的.