1992考研数一真题解析【闲鱼号“非凡小翊”持续更新中】【闲鱼号：非凡小翊】

(1) 【答案】 sin( ) sin( ) x y x y e y xy e x xy      【解析】函数 ( ) y y x  是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对x 求导,将y 看做x 的函数,得 (1 ) sin( )( ) 0 x y e y xy xy y        .解出y,即 sin( ) sin( ) x y x y dy e y xy y dx e x xy        . 【相关知识点】1.复合函数求导法则： 如果 ( ) u g x  在点x 可导,而 ( ) y f x  在点 ( ) u g x  可导,则复合函数   ( ) y f g x  在点x 可导,且其导数为 ( ) ( ) dy f u g x dx     或 dy dy du dx du dx   .

2. 两函数乘积的求导公式：   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x         .

(2) 【答案】  2 1,2, 2 9  【解析】对函数u 求各个分量的偏导数,有 2 2 2 2 u x x x y z      ； 2 2 2 2 u y y x y z      ； 2 2 2 2 u z z x y z      . 由函数的梯度(向量)的定义,有   2 2 2 1 , , 2 ,2 ,2 u u u gradu x y z x y z x y z                 , 所以     2 2 2 1 2 2,4, 4 1,2, 2 1 2 ( 2) 9 M gradu       . 【相关知识点】复合函数求导法则： 如果 ( ) u g x  在点x 可导,而 ( ) y f x  在点 ( ) u g x  可导,则复合函数   ( ) y f g x  在点x 可导,且其导数为 ( ) ( ) dy f u g x dx     或 dy dy du dx du dx   . --- [第 2 页] ---

(3) 【答案】 2 1 2 【解析】x   是[ , ]   区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在 x   处收敛于 2 2 1 1 1 [ ( 0) ( 0)] [ 1 1 ] 2 2 2 f f            . 【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件： 函数 ( ) f x 在区间[ , ] l l  上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有 限个极值点.则 ( ) f x 在[ , ] l l  上的傅里叶级数收敛,而且 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a n n a x b x l l            ( ), ( , ) ( ) 1 ( 0) ( 0) , ( , ) ( ) 2 1 ( 0) ( 0) , . 2 f x x l l f x f x f x x l l f x f l f l x l                  若 为 的连续点, 若 为 的第一类间断点, 若

(4) 【答案】 cos cos , y x x C x C   为任意常数 【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于 tan 1 | cos | xdx e x   ,方程两边同乘 1 cos x ,得 1 1 1 cos cos y y x C x x          积分 . 故通解为 cos cos , y x x C x C   为任意常数.

(5) 【答案】1 【解析】因为矩阵A 中任何两行都成比例(第i 行与第j 行的比为 i j a a ),所以A 中的二阶 子式全为0,又因 0, 0 i i a b   ,知道 1 1 0 a b  , A 中有一阶子式非零.故( ) 1 r A . 【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r 阶子式不为零,而所有的 1 r  阶子式全为 零时,则此矩阵的秩为r . --- [第 3 页] ---

(1) 【答案】(D) 【解析】对于函数在给定点 0x 的极限是否存在需要判定左极限 0 x x  和右极限 0 x x  是否存在且相等,若相等,则函数在点 0x 的极限是存在的. 1 1 2 1 1 1 1 1 lim lim( 1) 0 1 x x x x x e x e x            , 1 1 2 1 1 1 1 1 lim lim( 1) 1 x x x x x e x e x            , 0 ,故当 1 x  时函数没有极限,也不是.故应选(D).

(2) 【答案】(C) 【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小 2 1 1 1 cos ( ) 2 n n n    , 2 2 ( 1) (1 cos ) 1 cos ( ) 2 n n n n n         , 又因为p 级数： 1 1 p n n   当 1 p 时收敛；当 1 p  时发散. 所以有 2 2 1 1 2 n n    收敛. 1 ( 1) (1 cos ) n n n         收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C). 注：对于正项级数 1 n n a   ,确定无穷小 na 关于1 n 的阶(即与p 级数作比较)是判断它的敛散性 的一个常用方法.该题用的就是这个方法.

(3) 【答案】B 【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0 得切点对 应的t 值. 求曲线上的点,使该点处的切向量与平面 2 4 x y z    的法向量   1,2,1 n  垂直, 即可以让切线与平面平行. 曲线在任意点处的切向量    2 ( ), ( ), ( ) 1, 2 ,3 x t y t z t t t        , 0 n n      ,即 3 1 4 3 0 t t    ,解得 1 1, 3 t t   .(对应于曲线上的点均不在给定的平面上) 因此,只有两条这种切线,应选(B). --- [第 4 页] ---

(4) 【答案】(C) 【解析】因 3 3x 处处任意阶可导,只需考查 2 | | ( ) x x x   ,它是分段函数, 0 x  是连接点. 所以,写成分段函数的形式,有 3 3 , 0, ( ) , 0, x x x x x        对分段函数在对应区间上求微分, 2 2 3 , 0, ( ) 3 , 0, x x x x x          再考查( ) x  在连接点 0 x  处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论. 3 0

(0) ( ) 0 x x        , 3 0

(0) ( ) 0

(0) 0 x x             , 即 2 2 3 , 0, ( ) 3 ,

0. x x x x x         同理可得 6 , 0, ( ) 6 , 0, x x x x x         

(0) 0   ,即 6 , 0 ( ) 6 | | 6 , 0 x x x x x x           . 对于y x  有

(0) 1,

(0)

1. y y       所以y x  在 0 x  不可导,

(0)   不存在,应选(C).

(5) 【答案】(A) 【解析】 1, 2 向量对应的分量不成比例,所以 1, 2 是 0 Ax  两个线性无关的解,故 ( ) 2 n r A   .由 3 n  知( ) 1 r A . 再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组 0 Ax  ,有定理如下: 对矩阵A 按列分块,有   1 2 n A , , ,     ,则 0 Ax  的向量形式为 1 1 2 2 0 n n x x x .         那么, 0 Ax  有非零解 1 2 n , , ,     线性相关   1 2 n r , , , n       r A n.  

-

(1) 【解析】由等价无穷小有 0 x  时, 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 2 2 x x x       , 原式= 2 0 0 2 1 sin 1 sin lim lim 1 1 1 2 x x x x e x e x x x        , 上式为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点0 处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法 则,有 原式 0 0 cos sin lim lim 1 x x x x e x e x x     洛必达 洛必达 1 0 1 1    .

(2) 【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何 复合的. 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求z x   ,再求 ( ) z y x     . 由复合函数求导法则得 2 2 1 2 1 2 ( sin ) ( ) sin 2 x x z f e y f x y f e y f x x x x                  , 2 1 2 ( sin 2 ) x z f e y f x x y y         11 12 1 21 22 ( cos 2 ) sin cos ( cos 2 )2 x x x x f e y f y e y f e y f e y f y x           2 11 12 22 1 sin cos 2 ( sin cos ) 4 cos x x x f e y y f e y y x y f xy f e y              . 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 ( , ), ( , ) u x y v x y     都在点( , ) x y 具 有对x 及对y 的偏导数,函数 ( , ) z f u v  在对应点( , ) u v 具有连续偏导数,则复合函数 ( ( , ), ( , )) z f x y x y    在点( , ) x y 的两个偏导数存在,且有 1 2 z z u z v u v f f x u x v x x x                  ； 1 2 z z u z v u v f f y u y v y y y                  .

(3) 【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量 非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算. 令 2 x t  ,则 . dx dt  当 1 x  时, 1 t ；当 3 x  时, 1 t ,于是   3 1 0 1 2 1 1 1 0 ( 2) ( ) 1 t f x dx f t dt t dt e dt            分段 0 1 3 0 1 1 7

1 . 3 3 t t t e e              --- [第 6 页] ---

方程的特征方程 2 2 3 ( 1)( 3) 0 r r r r       有两个根为1 1, r  2 3 r ,而非齐次项 2 , 3 x e r  为单 特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解 3x Y x ae   ,代入方程可得 1 4 a  ,故所求通 解为 3 3 1 2 4 x x x x y C e C e e      ,其中 1 2 , C C 为常数. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 *( ) y x 是二阶线性非齐次方程 ( ) ( ) ( ) y P x y Q x y f x      的一个特解. ( ) Y x 是与之对应的齐次方程 ( ) ( ) 0 y P x y Q x y      的通解,则 * ( ) ( ) y Y x y x   是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 ( ) Y x ,可用特征方程法求解：即 ( ) ( ) 0 y P x y Q x y      中的 ( ) P x 、 ( ) Q x 均是常数,方程 变为 0 y py qy      .其特征方程写为 2 0 r pr q    ,在复数域内解出两个特征根1 2 , r r ； 分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根1 2 , r r ,则通解为 1 2 1 2 ; rx r x y C e C e  

(2) 两个相等的实数根1 2 r r  ,则通解为   1 1 2 ; rx y C C x e  

(3) 一对共轭复根1,2 r i     ,则通解为   1 2 cos sin . x y e C x C x      其中 1 2 , C C 为常数.

3. 对于求解二阶线性非齐次方程 ( ) ( ) ( ) y P x y Q x y f x      的一个特解 *( ) y x ,可用待定 系数法,有结论如下： 如果 ( ) ( ) , x m f x P x e  则二阶常系数线性非齐次方程具有形如 *( ) ( ) k x m y x x Q x e  的特解,其中 ( ) m Q x 是与 ( ) m P x 相同次数的多项式,而k 按不是特征方程的根、是特征方 程的单根或是特征方程的重根依次取0、1 或2. 如果 ( ) [ ( )cos ( )sin ] x l n f x e P x x P x x      ,则二阶常系数非齐次线性微分方程 ( ) ( ) ( ) y p x y q x y f x      的特解可设为 *

(1)

(2) [ ( )cos ( )sin ] k x m m y x e R x x R x x      , 其中

(1) ( ) m R x 与

(2) ( ) m R x 是m 次多项式,   max , m l n  ,而k 按 i    (或 i    )不是特征 --- [第 7 页] --- 方程的根、或是特征方程的单根依次取为0 或1.

    ,则 2 2 2 3( ) P Q R x y z x y z            . 以考虑用高斯公式来求解,但曲面不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是 比较复杂的,故不采用. 添加辅助面 2 2 2 : 0( ) S z x y a    ,法向量朝下, S 与围成区域, S 与取的外 法向量.在上用高斯公式得 3 2 3 2 3 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) S I x az dydz y ax dzdx z ay dxdy x y z dV             . 用球坐标变换求右端的三重积分得 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 3 ( ) 3 sin a x y z dV d d d                4 5 5 2 0 0 1 6 3 2 sin 3 2 1 5 5 a d d a a              . 注意S 垂直于平面yOz 与平面xOz ,将积分投影到xOy 平面上,所以左端S 上的曲面 积分为 S Pdydzdx Qdzdx Rdxdy    2 2 0 0 ( , ,0) xy S S D R x y dxdy ay dxdy a y dxdy         2 2 2 0 0 sin a a d r rdr       (极坐标变换) 4 2 2 3 5 0 0 sin 4 4 a a a d r dr a a           . 因此 5 5 5 6 29 5 4 20 I a a a       . 【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数 ( , , ) P x y z 、 ( , , ) Q x y z 、 ( , , ) R x y z 在上具有一阶连续偏导数,则有 , P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z                      --- [第 8 页] --- 或   cos cos cos , P Q R dv P Q R dS x y z                         这里是的整个边界曲面的外侧,cos、cos 、cos是在点( , , ) x y z 处的法向量的 方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.

2. 对于球面坐标与直角坐标的关系为： sin cos , sin sin , cos , x r y r z r             其中为向量与z 轴正向的夹角,0     ；为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到向 量在xOy 平面上投影线段的角,0 2     ；r 为向量的模长,0 r  . 球面坐标系中的体积元素为 2 sin , dv r drd d    则三重积分的变量从直角坐标变换 为球面坐标的公式是： 2 ( , , ) ( sin cos , sin sin , cos ) sin . f x y z dxdydz f r r r r drd d             六、(本题满分7 分) 【解析】证法一: 用拉格朗日中值定理来证明. 不妨设 2 1 0 x x   ,要证的不等式是 1 2 2 1 ( ) ( ) ( )

(0) f x x f x f x f     . 在 1 [0, ] x 上用中值定理,有 1 1 1 ( )

(0) ( ) ,0 f x f f x x        ； 在 2 1 2 [ , ] x x x  上用中值定理,又有 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , f x x f x f x x x x          由 ( ) 0, f x   所以 ( ) f x  单调减,而 1 2 x x      ,有 ( ) ( ) f f      ,所以 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( )

(0) ( ) f x x f x f x f f x      , 即 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) f x x f x f x    . 证法二：用函数不等式来证明.要证 1 1 ( ) ( ) ( ), 0 f x x f x f x x     ,构造辅助函数 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x f x f x f x x      , 则 1 ( ) ( ) ( ) x f x f x x       .由 ( ) 0, ( ) f x f x    单调减, 1 ( ) ( ), ( ) 0 f x f x x x        . 由此, 1 1 ( )

(0) ( )

(0) ( ) 0( 0) x f x f f x x         .改x 为 2x 即得证. --- [第 9 页] --- 【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数 ( ) f x 满足在闭区间[ , ] a b 上连续,在开区间   ,a b 内可导,那么在  ,a b 内至少有一点( ) a b     ,使等式 ( ) ( ) ( )( ) f b f a f b a      成立. 七、(本题满分8 分) 【解析】(1)先求出在变力F 的作用下质点由原点沿直线运动到点 ( , , ) M  时所作的功 W 的表达式.点O 到点M 的线段记为L ,则 L L W F ds yzdx zxdy xydz        .

(2) 计算曲线积分：L 的参数方程是 , , , x t y t z t       t 从0 到1, 1 1 2 2 2 2 0 0 ( ) 3 W t t t dt t dt                    . 化为最值问题并求解：问题变成求W   在条件 2 2 2 2 2 2 1( 0, 0, 0) a b c             下 的最大值与最大值点. 用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为 2 2 2 2 2 2 ( , , , ) 1 F a b c                 , 则有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0, 2 0, 2 0, 1

0. F a F b F c F a b c                                            解此方程组：对前三个方程,分别乘以, , 得 2 2 2 2 2 2 , a b c      ( 0  时) 代入第四个方程得 1 1 1 , , 3 3 3 a b c       . 相应的 1 3 9 3 3 W abc abc   .当 0  时相应的, , 得 0 W  . --- [第 10 页] --- 因为实际问题存在最大值,所以当 1 1 1 ( , , ) ( , , ) 3 3 3 a b  时W 取最大值 3 9 abc . 【相关知识点】拉格朗日乘子法： 要找函数 ( , ) z f x y  在附加条件( , ) 0 x y   下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数 ( , ) ( , ) ( , ), L x y f x y x y    其中为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来： ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) 0, ( , )

0. x x y y f x y x y f x y x y x y              由这方程组解出,x y 及,这样得到的( , ) x y 就是函数 ( , ) f x y 在附加条件( , ) 0 x y   下的 可能极值点. 八、(本题满分7 分) 【解析】(1) 1 能由 2 3   、 线性表出. 因为已知向量组 2 3 4    、 、 线性无关,所以 2 3   、 线性无关,又因为 1 2 3    、 、 线 性相关,故 1 能由 2 3   、 线性表出.

(2) 4 不能由 1 2 3    、 、 线性表出, 反证法：若 4 能由 1 2 3    、 、 线性表出,设 4 1 1 2 2 3 3 k k k        . 由(1)知, 1 能由 2 3   、 线性表出,可设 1 1 2 2 3 l l      ,那么代入上式整理得 4 1 1 2 2 1 2 3 3 ( ) ( ) k l k k l k        . 即 4 能由 2 3   、 线性表出,从而 2 3 4    、 、 线性相关,这与已知矛盾. 因此, 4 不能由 1 2 3    、 、 线性表出. 【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数 1 2 m k ,k , ,k  , 使 1 1 2 2 0 m m k k k         ,则称 1 2 m , , ,    线性相关；否则,称 1 2 m , , ,    线性无 关． 九、(本题满分7 分) --- [第 11 页] --- 【解析】(1)设 1 1 2 2 3 3 x x x        ,即是求此方程组的解. 对增广矩阵 1 2 3 ( , , , ) 作初等行变换, 第一行乘以  1  分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以  3  加到第三行上,第三行自 乘1 2 ,有 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 0 1 2 0 0 1 2 0 1 4 9 3 0 3 8 2 0 0 1 1                                    , 第三行乘以  2  、  1  分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以  1  加到第一行上,有 增广矩阵 1 0 0 2 0 1 0 2 0 0 1 1              . 解出 3 1 x  , 2 2 x , 1 2 x  ,故 1 2 3 2 2        .

(2) 由为A 的特征值可知,存在非零向量使A   ,两端左乘A ,得 2 2 ( ) ( ) A A A A A          ,再一直这样操作下去,有 n n A    . 因为 0  ,故 0  .按特征值定义知 n 是 n A 的特征值,且为相应的特征向量. 所以有 , ( 1,2,3) n n i i i i i i A A i        ,据(1)结论 1 2 3 2 2        ,有 1 2 3 1 2 3 (2 2 ) 2 2 A A A A A              , 于是 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 (2 2 ) 2 2 2 2 n n n n n n n n A A A A A                    1 2 1 3 2 2 2 3 1 1 1 2 1 2 2 2 3 3 2 2 3 1 4 9 2 2 3 n n n n n n n n                                         . 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数及非零的n 维 列向量X 使得AX X   成立,则称是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征 向量. 十、填空题(本题满分6 分,每小题3 分.) 【解析】由条件概率和乘法公式：从 ( ) 0 P AB  ,可知 ( ) ( ) ( | ) P ABC P AB P AB C  0  , 由加法公式： --- [第 12 页] --- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC          1 1 1 1 1 5 0 0 4 4 4 16 16 8         , 故 3 ( ) ( ) 1 ( ) 8 P ABC P A B C P A B C        .

(2) 【解析】依题意,随机变量X 服从参数为 1 的指数分布,故X 的概率密度为 , 0, ( ) 0, 0, x e x f x x      根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) X x x x E X e x e f x dx x e e dx               3 0 0 1 4 1 3 3 x x xe dx e dx           . 十一、(本题满分6 分) 【解析】方法一：利用分布函数求密度函数： 首先,因 2 ( , ) X N   ,所以X 的密度函数为 2 2 ( ) 1 ( ) 2 x Xf x e       , 因Y 服从[ , ]   上的均匀分布,故Y 的密度函数为 1 1 ( ) ( ) 2 Yf y       . 因为随机变量X 与Y 相互独立,所以二维随机变量( , ) X Y 的联合概率密度为 ( , ) ( ) ( ) X Y f x y f x f y  .要求Z 的密度函数,先求Z 的分布函数 ( ) ( ) ( ) Z F z P Z z P X Y z      ( , ) x y z f x y dxdy   ( ) ( ) X Y x y z f x f y dxdy   2 2 ( ) 1 1 2 2 x x y z e dxdy           . 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 x x z y z y dy e dx dy e dx                              1 2 z y dy                 (由标准正态分布来表示一般正态分布) 求出Z 的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数, Z 的密度函数为 --- [第 13 页] --- 1 1 ( ) ( ) 2 Z Z z y f z F z dy                     其中 ( )x  是标准正态分布的概率分布密度.由于 ( )x  是偶函数,故有 z y y z                        于是 1 1 1 ( ) 2 2 Z y z z z f z dy                                                    . 最终用标准正态分布函数 ( )x  表示出来Z X Y   的概率分布密度. 方法二：用卷积公式直接计算： 直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求 ( ) Zf z 更为简单. 因为随机变量X 与Y 相互独立,由卷积公式 1 ( ) ( ) ( ) 2 Z X Y f z f z y f y dy       2 2 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 z y z y e dy e dy                        2 2 ( ) 1 1 2 2 y z e dy            1 2 y z dy                 1 1 2 y z dy                   1 2 z z                                  . 最终用标准正态分布函数 ( )x  表示出来Z X Y   的概率分布密度.