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1990 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题解析
一、 填空题（本题共5 个小题，每小题3 分，满分15 分。）
（1）过点
(1,2
, 1)
M
且与直线
2
3
4
1
x
t
y
t
z
t
垂直的平面方程是 _______。
【答案】
3
4
0. x
y
z
【解析】由直线的参数方程，可得直线的方向向量
( 1,3,1)
l
，
所求平面的法向量n 平行于所给直线的方向向量
( 1,3,1)
l
，取n
l
，又平面过已知点
(1,2, 1)
M
.已知平面
的法向量和过已知点可唯一确定这个平面，所求平面的方程为(
1)
3(
2)
(
1)
0,
x
y
z
化简即是
3
4
0. x
y
z
（2）设a 为非零常数，则lim(
)x
x
x
a
x
a
= _______。
【答案】
2a
e
.
【解析】此题考查重要极限：
1
lim(1
)
.
x
x
e
x
(1
)
lim(
)
lim
(1
)
x
x
x
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
(1
)
lim
(1
)
x a
a
x
x
a
a
a
x
a
x
2
a
a
a
e
e
e
.
或由
2
2
2
2
lim(
)
lim 1
x a
x
a
a x a
x
a
x
x
x
a
a
e
x
a
x
a
.
（3）设函数
1, |
| 1,
( )
0, |
| 1,
x
f x
x
则[ ( )]
f f x
= _______。
【答案】1.
【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域，不能遗漏，求出复合后函数的所有可能的解析式.
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根据
( )
f x 的定义知，当|
| 1
x
时，有
( )
1. f x
代入[ ( )]
f f x
，又
1. f
于是当|
| 1
x
时，复合函数[ ( )]
1
f f x
；
当|
| 1
x 时，有
( )
0. f x
代入[ ( )]
f f x
，又
(0) 1,
f
即当|
| 1
x 时，也有[ ( )]
1
f f x
.
因此，对任意的
(
,
)
x，有[ ( )]
1
f f x
.
（4）积分
2
2
2
0
y
x
dx
e
dy
的值等于 _______。
【答案】
4
1 (1
).
2
e
【解析】这是一个二重积分的累次积分，因
2
y
e
的原函数不是初等函数，先对y 积分积不出来，所以应该改换积分
次序，先表成：
原式
2
. y
D
e
dxdy
由累次积分的内外层积分限确定积分区域D ：
0
2,
2,
x
x
y
如图所示，然后交换积分次序.
原式
2
2
2
2
0
0
0
y
y
y
dy
e
dx
ye
dy
2
4
2
1
1 (1
).
0
2
2
y
e
e
（5）已知向量组
1
2
3
4
(1,2,3,4),
(2,3,4,5),
(3,4,5,6),
(4,5,6,7)
，则该向量的秩是_______。
【答案】2.
【解析】经过初等变换后向量组的秩不变.
所以有
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
A
第一行1r 分别乘以
2
、
3
、
4
加到第二行、第三行、第四行上，得到
2
x
y
O
y
x
2
D
--- [第 3 页] ---
1
2
3
4
0
1
2
3
A
0
2
4
6
0
3
6
9
继续作初等变换第二行2r 分别乘以
2
、
3
加到第三行、第四行上，再自乘
1
有
1
2
3
4
0
1
2
3
A
0
0
0
0
0
0
0
0
因为最后得出的矩阵有二阶子式
0
，而三阶子式
0
，由矩阵秩的定义，有
1
2
3
4
,
,
,
( )
2. r
r A
所以此题应填 2 .
二、 选择题（本题共5 个小题，每小题3 分，满分15 分。）
（1）设
( )
f
x 是连续函数，且
'
2
( )
[ ( )]
f
x
f x
，则等于
(A)
(
)
( )
x
x
e
f e
f x
(B)
(
)
( )
x
x
e
f e
f x
(C)
(
)
( )
x
x
e
f e
f x
(D)
(
)
( )
x
x
e
f e
f x
【答案】A.
【解析】对积分上限的函数的求导公式：
若
( )
( )
( )
( )
t
t
F t
f x dx
，
( )t
，
( )t
均一阶可导，
则
'( )
'( )
( )
'( )
( )
F t
t
f
t
t
f
t
.
复合函数求导法则，
如果
( )
u
g x
在点x 可导，而
( )
y
f x
在点
( )
u
g x
可导，则复合函数
( )
y
f g x
在点x 可导，且其导数为
'( )
'( )
dy
f
u
g x
dx
或 dy
dy du
dx
du dx
所以两边求导数,
'
'
( )
(
)(
)
( )( )
x
x
F x
f e
e
f x x
(
)
( ).
x
x
e
f e
f x
故本题选A.
（2）已知函数
( )
f x 具有任意阶导数，且
'
2
( )
[ ( )]
f
x
f x
，则当n 为大于2 的正整数时，( )
f x 的n 阶导数
( )
n
f
x 是
(A)
1
![ ( )]n
n
f x
(B)
1
[ ( )]n
n f x
(C)
2
[ ( )] n
f x
(D)
2
![ ( )] n
n
f x
--- [第 4 页] ---
【答案】A.
【解析】本题考查高阶导数的求法.
为方便记
( )
y
f x
.由
2
'y
y
，逐次求导得
3
''
2
'
2
,
y
yy
y
2
4
'''
3!
'
3!
,
y
y y
y
，
由第一归纳法，可归纳证明
( )
1
!
n
n
y
n y
假设n
k
成立，即
( )
1
!
k
k
y
k y
，
则
'
'
(
1)
( )
1
!
1 !
'
k
k
k
k
y
y
k y
k
y
y
1
1
1 !
k
k
y
所以
1
n
k
亦成立，原假设成立.
（3）设为常数，则级数
2
1
sin
1
(
)
n
n
n
n
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛
(C) 发散 (D) 收敛性与的取值有关
【答案】C .
【解析】本题可利用分解法判别级数的敛散性（收敛级数与发散级数之和为发散级数）.
1
1
n
n
发散.因为此为p 级数：
1
1
p
n
n
当
1
p 时收敛；当
1
p 时发散.
2
1
sin
n
n
n
收敛.因为由三角函数的有界性
2
2
sin
1
n
n
n
，而p 级数：
2
1
1
n
n
收敛，
根据正项级数的比较判别法：
设
1
n
n
u
和
1
n
n
v
都是正项级数，且lim
,
n
n
n
v
A
u
则
（1） 当0
A
时，
1
n
n
u
和
1
n
n
v
同时收敛或同时发散；
（2） 当
0
A
时，若
1
n
n
u
收敛，则
1
n
n
v
收敛；若
1
n
n
v
发散，则
1
n
n
u
发散；
（3） 当A 时，若
1
n
n
v
收敛，则
1
n
n
u
收敛；若
1
n
n
u
发散，则
1
n
n
v
发散.
所以
2
1
sin
n
n
n
收敛，所以级数
2
1
sin
n
n
n
绝对收敛.
由收敛级数与发散级数之和为发散级数，可得
--- [第 5 页] ---
级数
2
1
sin
1
(
)
n
n
n
n
发散.
故选(C).
（4）已知
( )
f x 在
0
x
的某个领域内连续，且
(0) 0
f
，
0
( )
lim
2
1 cos
x
f x
x
，则在点
0
x
处
(A) 不可导 (B) 可导，且
'(0)
0
f
(C) 取得极大值 (D) 取得极小值
【答案】D.
【解析】利用极限的保号性可以判断的正负号：
设
0
lim
( )
.
x
x f x
A
若
0
A
0,
当
0
0
x
x
时，
( )
0
f x
.
若
0,
当
0
0
x
x
时有
( )
0
f x
，则
0
A
.
所以，有
0
( )
( )
lim
2
0
0
1 cos
1 cos
x
f x
f x
x
x
（在
0
x
的某空心领域）
由1 cos
0
x
，有
( )
0
(0) f x
f
，即
( )
f x 在
0
x
取极小值，应选(D)
本题还可特殊选取满足题中条件的
( )
2 1 cos
.
f x
x
显然，它在
0
x
取得极小值，其余的都不正确，这样本题仍选
(D)
（5）已知
1
、
2
是非齐次线性方程组Ax
b
的两个不同的解，
1
、
2
是对应齐次线性方程组
0
Ax
的基础解系，
1
2
,
k k 为任意常数，则方程组Ax
b
的通解（一般解）必是
(A)
1
2
1
1
2
1
2
(
)
2
k
k
(B)
1
2
1
1
2
1
2
(
)
2
k
k
(C)
1
2
1
1
2
1
2
(
)
2
k
k
(D)
1
2
1
1
2
1
2
(
)
2
k
k
【答案】B
【解析】本题考查解的性质和解的结构.从
1
、
2
是对应齐次线性方程组
0
Ax
的基础解系，知Ax
b
的通解形
式为
1 1
2
2
,
k
k
其中
1
2
,
是
0
Ax
的基础解系，是
Ax
b
的一个特解.
由解的性质：如果
1
2
,
是
0
Ax
的两个解，则其线性组合
1 1
2
2
k
k
仍是
0
Ax
的解；如果是Ax
b
的一个解，
是
0
Ax
的一个解，则
仍是Ax
b
的解.
所以有：
1
，
1
2
，
1
2
2
，
1
2
，
1
2
都是
0
Ax
的解，
1
2
2
是Ax
b
的一个特解.
那么看各个选项，(A)中没有特解,
(C) 中既没有特解,
且
1
2
也不是
0
Ax
的解.
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(D)中虽有特解，但
1
，
1
2
的线性相关性不能判定，故(A)、(C)、(D)均是不正确的.
再看(B)，
1
2
2
是Ax
b
的一个特解，
1
，
1
2
是
0
Ax
的线性无关的解，是基础解系，故本题选(B).
三、 （本题满分15 分，每小题5 分。）
（1）求
1
2
0
ln(1
)
(
2
)
x dx
x
（2）设
(2
,
sin )
z
f
x
y y
x
，其中
( , )
f u v 具有连续的二阶偏导数，求
2z
x y
。
（3）求微分方程
''
'
2
4
4
x
y
y
y
e
的通解（一般解）
（1）【答案】1 ln 2.
3
. 【解析】分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题，如果选择不当可能引起更繁杂的计算，最后甚至算不
出结果来。在做题的时候应该好好总结，积累经验。
假定
( )
u
u x
与
( )
v
v x
均具有连续的导函数，则
'
'
,
uv dx
uv
u vdx
或者
.
udv
uv
vdu
由
2
2
1
1
(2
)
(2
)
(
)
(2
)
2
dx
x
d
x
d
x
x
有
原式
1
1
0
0
1
1
ln(1
)
1
ln(1
) (
)
0
2
2
2
1
x
dx
x d
x
x
x
x
分部法
因为，由分项法
1
1
1
1
1
(
)
2
1
3 2
1
x
x
x
x
所以，原式
1
0
1
1
1
ln 2
(
)
3
2
1
dx
x
x
1
1
0
0
1
1
ln 2
[ ln(2
)
ln(1
) ]
ln 2
3
3
x
x
.
（2）【答案】
''
''
''
'
11
12
22
2
2
(2sin
cos )
sin
cos
cos
f
x
y
x f
y
x
xf
xf
.
【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数，重要的是要分清函数是如何复合的.
由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，可以先求z
x
，再求
(
)
z
y
x
，如方法1;
也可以先求z
y
，再求
(
)
z
x
y
，如方法2.
--- [第 7 页] ---
由复合函数求偏导的链式法则：如果函数
( , ),
( , )
u
x y v
x y
都在点( , )
x y 具有对x 及对y 的偏导数，函数
( , )
z
f u v
在对应点( , )
u v 具有连续偏导数，则复合函数
( ( , ),
( , ))
z
f
x y
x y
在点( , )
x y 的两个偏导数存在，且有
'
'
1
2
z
z
u
z
v
u
v
f
f
x
u
x
v x
x
x
；
'
'
1
2
z
z
u
z
v
u
v
f
f
y
u
y
v y
y
y
.
方法1：先求z
x
，
'
'
'
'
1
2
1
2
(2
)
( sin )
2
cos
z
f
x
y
f
y
x
f
y
xf
x
x
x
。
2
'
'
1
2
(2
cos
)
z
f
y
xf
x y
y
''
''
'
''
''
11
12
2
21
22
2(
(2
)
( sin ))
cos
(
(2
)
( sin )) cos
f
x
y
f
y
x
xf
f
x
y
f
y
x
y
x
y
y
y
y
''
''
'
''
''
11
12
2
21
22
2(
sin
)
cos
(
sin
) cos
f
xf
xf
f
xf
y
x
''
''
''
'
11
12
22
2
2
(2sin
cos )
sin
cos
cos
f
x
y
x f
y
x
xf
xf
方法2：先求z
y
，
'
'
'
'
1
2
1
2
(2
)
( sin )
sin
z
f
x
y
f
y
x
f
xf
y
y
y
2
'
'
1
2
(
sin
)
z
f
xf
x y
x
''
''
'
''
''
11
12
2
21
22
(
(2
)
( sin ))
cos
(
(2
)
( sin )) sin
f
x
y
f
y
x
xf
f
x
y
f
y
x
x
x
x
x
x
''
''
'
''
''
11
12
2
21
22
(2
cos
)
cos
(2
cos
) sin
f
y
xf
xf
f
y
xf
x
''
''
''
'
11
12
22
2
2
(2sin
cos )
sin
cos
cos
f
x
y
x f
y
x
xf
xf
.
（3）【答案】所求通解为
2
2
2
1
2
1
(
)
2
x
x
y
C
C x e
x e
其中
1
2
,
C C 为常数.
【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程.
--- [第 8 页] ---
设
*( )
y
x 是二阶线性非齐次方程
( )
( )
( )
y
P x y
Q x y
f x
的一个特解. ( )
Y x 是与之对应的齐次方程
( )
( )
0
y
P x y
Q x y
的通解，则
*
( )
( )
y
Y x
y
x
是非齐次方程的通解；
对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解( )
Y x ，可用特征方程法求解：
即
( )
( )
0
y
P x y
Q x y
中的
( )
P x 、
( )
Q x 均是常数，方程变为
0
y
py
qy
.
其特征方程写为
2
0
r
pr
q
，在复数域内解出两个特征根1
2
,
r r ；
分三种情况：
（1） 两个不相等的实数根1
2
,
r r ，则通解为
1
2
1
2
;
rx
r x
y
C e
C e
（2） 两个相等的实数根1
2
r
r
，则通解为
1
1
2
;
rx
y
C
C x e
（3） 一对共轭复根1,2
r
i
，则通解为
1
2
cos
sin
.
x
y
e
C
x
C
x
其中
1
2
,
C C 为常数.
对于求解二阶线性非齐次方程
( )
( )
( )
y
P x y
Q x y
f x
的一个特解
*( )
y
x ,可用待定系数法，有结论如下：
如果
( )
( )
,
x
m
f x
P x e
则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
*( )
( )
k
x
m
y
x
x Q
x e
的特解，其中
( )
m
Q
x 是与
( )
m
P x 相同次数的多项式，而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程
的重根依次取0、1 或2.
本题中对应的齐次方程的特征方程
2
2
4
4
(
2)
0
r
r
r
有二重根1
2
2
r
r
，而非齐次项
,
2
x
e为重特
征根，因而非齐次方程有如下形式的特解
2
2x
Y
x
ae
，
代入方程可得
1
2
a
，故所求通解为
2
2
2
1
2
1
(
)
2
x
x
y
C
C x e
x e
其中
1
2
,
C C 为常数.
四、 （本题满分6 分。）
求幂级数
0
(2
1)
n
n
n
x
的收敛域，并求其和函数。
【答案】收敛域
1,1
，和函数为
2
1
(|
| 1)
(1
)
x
x
x
.
--- [第 9 页] ---
【解析】先用公式求出收敛半径及收敛区间，再考察端点处的敛散性可得到收敛域；将幂级数
0
(2
1)
n
n
n
x
转化为
基本情形
1
1
n
n
nx
，可求得和函数
1
'
'
2
1
1
1
(
)
(
)
1
1
n
n
n
n
x
nx
x
x
x
( 1
1),
x
方法1：按通常求收敛半径的办法,
若果
1
lim
lim
n
x
n
x
a
a
，其中
1
,
n
n
a a 是幂级数
0
n
n
n
a x
的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径
1 ,
0,
,
0,
0,
.
R
本题用幂级数收敛半径的计算公式得
1
2(
1) 1
lim
lim
1
2
1
n
n
n
n
a
n
a
n
，
收敛半径
1
1
R
收敛区间为
1,1
，
当
1
x
时，级数
0
(2
1)
n
n
发散；当
1
x 时，级数
0
(2
1)( 1)n
n
n
也发散，
所以当
1
x 时原幂级数均发散原幂级数的收敛域
1,1
.
下面求和函数，先分解为
0
0
0
( )
(2
1)
2
n
n
n
n
n
n
S x
n
x
nx
x
几何级数
0
1
(|
| 1)
1
n
n
x
x
x
，又
1
'
'
2
0
0
0
1
2
2
2
2
(
)
2 (
)
(|
| 1)
1
(1
)
n
n
n
n
n
n
x
nx
x
nx
x
x
x
x
x
x
，
因此
2
2
2
1
1
( )
(|
| 1)
(1
)
1
(1
)
x
x
S x
x
x
x
x
方法2：直接考察
2
1
2
0
(|
| 1)
(1
)
n
n
x
x
x
x
（几何级数求和），逐项求导得
--- [第 10 页] ---
2
2
'
2
2
2
0
1
(2
1)
(
)
(|
| 1)
1
(1
)
n
n
x
x
n
x
x
x
x
将
2x 换成x 得
2
0
1
(2
1)
(|
| 1)
(1
)
n
n
x
n
x
x
x
由方法1 的讨论，有收敛域
1,1
五、 （本题满分8 分）
求曲面积分
2
,
S
I
yzdzdx
dxdy
其中S 是球面
2
2
2
4
x
y
z
外侧在
0
z
的部分
【解析】记
(
)
0
0
P
Q
R
yz
I
z
x
y
z
y
，可以考虑用高斯公式计算，但不是封闭的，所以要添加辅助面，
如方法1；
本题还可直接套用公式计算也不复杂，为
2
2
: ( , ) |
4 ,
xy
D
x y
x
y
可用矢量点积法将积分都投影在平面xOy 上较
方便，再化为
xy
D 上的二重积分，如方法2.
方法1：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数
( , , )
P x y z 、
( , , )
Q x y z 、
( , , )
R x y z 在上具有一
阶连续偏导数，则有
,
P
Q
R dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
x
y
z
或
cos
cos
cos
,
P
Q
R dv
P
Q
R
dS
x
y
z
这里是的整个边界曲面的外侧，cos、cos 、cos是在点( , , )
x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公
式叫做高斯公式.
对于球面坐标与直角坐标的关系为：
sin
cos ,
sin
sin ,
cos .
x
r
y
r
z
r
其中为向量与z 轴正向的夹角，0
；为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到向量在xOy 平面上投影线
段的角，0
2
；r 为向量的模长，0
r
.
球面坐标系中的体积元素为
2 sin
,
dv
r
drd d
--- [第 11 页] ---
则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：
2
( , , )
( sin
cos , sin
sin , cos )
sin
.
f x y z dxdydz
f r
r
r
r
drd d
添加辅助面
2
2
1 :
0(
4)
S
z
x
y
，法向量与z 轴负向相同，S 与
1S 围成的闭区域
，S 与
1S 的法向量指向的外部。在上用高斯公式得
1
2
S
I
yzdzdx
dxdy
zdV
.
用先二后一的求积顺序求三重积分：
2
2
2
0
0
( )
(4
)
4
D z
zdV
dz
zdxdy
z
z
或用球坐标变换来计算
2
2
2
2
0
0
0
cos
sin
zdV
d
d
d
2
3
2
0
0
1
2
sin
sin
2
4
4
2
d
d
1
2
2
2 4
8
xy
S
D
yzdzdx
dxdy
dxdy
其中
2
2
:
4
xy
D
x
y
.
因此
4
( 8 )
12
I
.
方法2：S 在xOy 平面上的投影区域是
2
2
: ( , ) |
4 ,
xy
D
x y
x
y
因S 取上侧，套用矢量点积法公式得
[0 (
)
(
)
2 1]
xy
D
z
z
I
yz
dxdy
x
y
由
2
2
2
4
x
y
z
，
方程两边同时对x 求导，得z
x
x
z
；
方程两边同时对y 求导，得z
y
y
z
.代入上式得
2
(
2)
xy
D
I
y
dxdy
考虑到积分区域
xy
D 关于变量,x y 具有轮换对称性，从而有
--- [第 12 页] ---
2
2
2
2
1
(
)
2
xy
xy
xy
D
D
D
x dxdy
y dxdy
x
y
dxdy
.
2
2
1
(
)
8
2
xy
D
I
x
y
dxdy
用极坐标变换得
2
2
3
4
0
0
2
1
1
1
8
2
8
4
8
12
0
2
2
4
I
d
r dr
r
.
六、（本题满分7 分）
设不恒为常数的函数
( )
f x 在闭区间[ , ]
a b 上连续，在开区间( , )
a b 内可导，且
( )
( )
f a
f b
。证明在( , )
a b 内至少存
在一点，使
'( )
0
f
。
【解析】与未知函数在一点的导数值有关，自然想到用微分中值定理，但
( )
( )
f a
f b
只能推导出一点的导数为零，
考虑到题设
( )
f x 不恒为常数，因此存在一点c ，使
( )
( )
( ),
f c
f a
f b
再在[ , ]
a c 或[ , ]
c b 上应用拉格朗日中值定理.
拉格朗日中值定理：如果函数
( )
f x 满足在闭区间[ , ]
a b 上连续；在开区间
,a b 内可导，那么在
,a b 内至少有一点
(
)
a
b
，使等式
( )
( )
'( )(
)
f b
f a
f
b
a
成立.
从几何直观上看（上图）利用拉格朗日中值定理可得到结果：由
( )
f x 不恒等于c ，有
( )
f x 不恒等于
( )
f a ，因而
0
( , )
x
a b
，
0
(
)
( )
f x
f a
若
0
(
)
( )
( )
f x
f a
f b
，在
0
[ ,
]
a x
上使用拉格朗日中值定理，则
0
( ,
)
( , )
a x
a b
，有
'
0
0
(
)
( )
( )
0
f x
f a
f
x
a
；
若
0
(
)
( )
( )
f x
f a
f b
，在
0
[
, ]
x b 上使用拉格朗日中值定理，则
0
(
, )
( , )
x b
a b
，
a
x
b
y
x
O
--- [第 13 页] ---
有
'
0
0
( )
(
)
( )
0
f b
f x
f
b
x
七、（本题满分6 分）
设四阶矩阵
1 -1 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 -1
0 0 0 1
B
，
2 1 3 4
0 2 1 3
0 0 2 1
0 0 0 2
C
且矩阵A 满足关系式
1
(
)T
T
A E
C B
C
E
,
其中E 为四阶单位矩阵，
1
C 表示C 的转逆阵,
T
C 表示C 的转置矩阵。将上述关系式简化并求矩阵A .
【答案】
1
0
0
0
2
1
0
1
1
2
1
0
0
0
2
1
A
.
【解析】由转置矩阵和逆矩阵的性质，(
)T
T
T
AB
B A
；
1
AA
E
；
1
1 T
T
A
A
.
由(
)T
T
T
AB
B A
知
1
1
(
)
[ (
)]
(
)
T
T
T
T
E
C B
C
C E
C B
C
B
那么由
(
)T
A C
B
E
知
1
1
[(
) ]
[(
) ]
T
T
A
C
B
C
B
由
1
2
3
4
0
1
2
3
0
0
1
2
0
0
0
1
C
B
，
如果对
C
B
E
作初等行变换
则由
1
C
B
E
E
C
B
可以直接得出
1
(
2 )
A
E
通过矩阵的初等变换
1
2
3
4 1
0
0
0
0
1
2
3 0
1
0
0
0
0
1
2 0
0
1
0
0
0
0
1 0
0
0
1
C
B
E
第四行乘以
2
、
3
、
4
分别加到第三、二、一行上，得到
1
2
3
0 1
0
0
4
0
1
2
0 0
1
0
3
0
0
1
0 0
0
1
2
0
0
0
1 0
0
0
1
--- [第 14 页] ---
再第二行乘以
2
、
3
分别
1
2
0
0 1
0
3
2
0
1
0
0 0
1
2
1
0
0
1
0 0
0
1
2
0
0
0
1 0
0
0
1
最后第二行乘以
2
加到第一行上，得到
1
0
0
0 1
2
1
0
0
1
0
0 0
1
2
1
0
0
1
0 0
0
1
2
0
0
0
1 0
0
0
1
所以
1
1
2
1
0
0
1
2
1
(
)
0
0
1
2
0
0
0
1
C
B
故
1
0
0
0
2
1
0
1
1
2
1
0
0
0
2
1
A
八、（本题满分8 分）
求一个正交变换，化二次型
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1
2
1
3
2
3
( ,
,
)
4
4
4
4
8
f x x x
x
x
x
x x
x x
x x
为标准型。
【答案】正交变换
1
1
2
2
3
3
2
2
1
3
5
3 5
1
4
2
3
5
3 5
5
2
0
3
3 5
x
y
x
y
x
y
得标准型
2
3
9
f
y
.
【解析】本题是一个基本题型，主要考查矩阵的特征值、特征向量以及正交化方法.
由二次型的定义：含有n 个变量
1
2
,
,
,
n
x x
x
的二次齐次多项式（即每项都是二次的多项式）
1
2
1
1
,
,
,
,
n
n
n
ij
i
j
i
j
f x x
x
a x x
其中
ij
ji
a
a
，
称为n 元二次型，令
1
2
,
,
,
T
n
x
x x
x
，
ij
A
a
，则二次型可用矩阵乘法表示为
1
2
,
,
,
,
T
n
f x x
x
x Ax
--- [第 15 页] ---
其中A 是对称矩阵
T
A
A
，称A 为二次型
1
2
,
,
,
n
f x x
x
的矩阵.
所以写出二次型的矩阵是
1
2
2
2
4
4
2
4
4
A
，其特征多项式为
2
1
2
2
|
|
2
4
4
(
9)
2
4
4
E
A
.
令|
| 0,
E
A
所以A 的特征值是
1
2
3
0,
9
.
对于
1
2
0
，由(0
)
0
E
A x
，对方程组的系数矩阵作初等行变换，
即
1
2
2
1
2
2
2
4
4
0
0
0
2
4
4
0
0
0
，
得到基础解系
1
2
(2,1,0) ,
( 2,0,1)
T
T
，即为属于特征值
0
的特征向量.
对于
3
9
，由(9
)
0
E
A x
，对方程组的系数矩阵作初等行变换，
即
8
2
2
2
5
4
2
5
4
0
1
1
2
4
5
0
0
0
，
得到基础解系
3
(1, 2,2)T
。
由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对属于特征值
1
2
0
的特征向量正交化，
由施密特正交法，得到
1
1
(2,1,0)T
；
2
1
2
2
1
1
1
(
)
1 ( 2,4,5)
(
)
5
T
.
再把
1
2
3
,
,
单位化，有
3
1
2
1
2
3
1
2
3
2
2
1
5
3 5
3
1
4
2
,
,
3
5
3 5
2
0
5
3
3 5
r
r
r
那么经正交变换
--- [第 16 页] ---
1
1
2
2
3
3
2
2
1
3
5
3 5
1
4
2
3
5
3 5
5
2
0
3
3 5
x
y
x
y
x
y
注：属于特征值
1
2
0
的特征向量不唯一，因此本题的答案也不唯一.
二次型可化为标准型
2
3
9
f
y
.
九、（本题满分8 分）
质点P 沿着以AB 为直径的半圆周，从点
(1,2)
A
运动到点
(3,4)
B
的过程中受变力F 作用（见图）。F 的大小等于
点P 与原点O 之间的距离，其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于2
，求变力F 对质点P 所作的功
【答案】2(
1)
.
【解析】变力F
Pi
Qj
对沿曲线L 运动的质点所坐的功为
.
L
W
Pdx
Qdy
本题的关键是写出F 的表达式.
（1）先求作用于点
( , )
P x y 的力F ：按题意
2
2
|
| |
|
F
OP
x
y
与
,
OP
x y
垂直的向量是
,y x
，其中与y 轴正向成锐角的是
,y x
，于是
2
2
,
.
,
|
|
y x
F
F
y x
F
x
y
.
即变力F 的大小为
2
2
x
y
，方向为
,y x
.
B(3,4)
F
A(1,2)
P(
x
O
y
--- [第 17 页] ---
（2）求F 对质点所作的功的表达式
AB
AB
W
F ds
ydx
xdy
（3）计算曲线积分
方法1：格林公式:设闭区域D 由分段光滑的曲线L 所围成，函数
( , )
P x y 及
( , )
Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，
则有
(
)
,
L
D
Q
P dxdy
Pdx
Qdy
x
y
其中L 是D 的取正向的边界曲线.
因为格林公式要求是闭区域，所以添加辅助线
:
1,
[3,1]
BA y
x
x
1
3
3
1
[ (
1)
]
1
2
BA
ydx
xdy
x
x dx
dx
.
在BA 与
AB 所围的区域D 上用格林公式得
2
2
D
BA
AB
D
ydx
xdy
dxdy
S
因此
2
2
D
W
S
2
1
2
( 2)
2
2(
1)
2
.
这里D 是半圆，半径是
2 ，所以
2
1 ( 2)
.
2
D
S
方法2 : 写出的圆弧
AB 的参数方程.
用对坐标的曲线积分公式：设有向曲线弧L 的起点为A ，终点为B .曲线弧L 由参数方程
( ),
( ).
x
t
y
t
其中起点A ，终点B 对应的参数分别为
,
，则
( , )
( , )
[ ( ),
( )] '( )
[ ( ),
( )]
'( )
L P x y dx
Q x y dy
P
t
t
t
Q
t
t
t
dt
由
2
2
2
(
2)
(
3)
( 2)
x
y
2
2 cos ,
3
[
,
]
4
4
3
2 sin ,
x
t t
y
t
4
3
4
[ (3
2 sin ) 2( sin )
(2
2 cos ) 2 cos ]
W
t
t
t
t dt
4
4
3
3
4
4
2
3 2 sin
2 2 cos
dt
t
tdt
4
3
4
2
( 3 2 cos
2 2 sin ) |
2(
1)
t
t
.
--- [第 18 页] ---
十、填空题（本题满分6 分，每小题2 分。）
（1）已知随机变量的概率密度函数
| |
1
( )
,
2
x
f x
e
x
则X 的概率分布函数
(
)
F X =_______。
（2）设随机事件A 、B 及其和事件A
B
的概率分别是0.4、0.3 和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件AB
的概率
(
)
P AB =_______。
（3）已知离散型随机变量X 服从参数为2 的泊松（Poisson）分布,即
2
2
,
0,1,2
!
k e
P X
k
k
k
… ,则随机变量
3
2
Z
X
的数学期望
( )
E Z =_______。
（1）【答案】分布函数为
1
,
0
2
( )
1
1
,
0,
2
x
x
e
x
F x
e
x
.
【解析】本题题意明确，直接按连续型随机变量的分布函数定义进行计算.因为密度函数中包含自变量的绝对值，积
分时必须对x 进行讨论.
| |
1
( )
( )
2
x
x
t
F x
P X
x
f t dt
e dt
当
0
x
时，
1
1
( )
( )
2
2
x
x
t
x
F x
f t dt
e dt
e
；
当
0
x
时，
0
0
0
0
1
1
1
( )
( )
2
2
2
x
x
t
t
t
F x
f t dt
e dt
e dt
e dt
0
1
1
0
2
2
t
t x
e
e
1
1
1
(1
)
1
2
2
2
x
x
e
e
因此，X 的分布函数为
1
,
0,
2
( )
1
1
,
0. 2
x
x
e
x
F x
e
x
（2）【答案】0.3.
【解析】本题主要考查概率的加法公式、减法公式等基本性质，并注意其各种变形：
（1）
.
AB
A
B
A
AB
（2）
(
)
(
)
( )
(
),
P AB
P A
B
P A
P AB
一般地
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B
.
--- [第 19 页] ---
（3）
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
P A
B
P A
P B
P AB
P A
P BA
( )
(
)
(
)
(
)
(
).
P B
P AB
P AB
P AB
P BA
（4）若A 与B 独立，则
(
)
( )
( )
( ) ( )
P A
B
P A
P B
P A P B
1
1
( ) 1
( ) .
P A
P B
方法1：AB 互不相容，且A
B
= AB
B
，于是
(
)
(
)
( )
0. 3
P AB
P A
B
P B
此种方法来看
( )
0. 4
P A
是多余的.
方法2：根据概率的广义加法公式，有
(
)
( )
( )
(
)
P A
B
P A
P B
P AB
(
)
( )
( )
(
)
0. 1
P A
B
P A
P B
P AB
从而
(
)
( )
P AB
AB
P A
，得出
(
)
( )
(
)
0. 3
P AB
P A
P AB
（3）【答案】4 .
【解析】若
( )
X
P
泊松分布，则数学期望和方差，EX
DX
.
由数学期望的性质：
(
)
(
)
( )
E aX
bY
c
aE X
bE Y
c
其中, ,
a b c 为常数.
题中由于X 服从参数为2 的泊松（Poisson）分布，因此
(
)
2. E X
故
(3
2)
3
2
4
EZ
E
X
EX
.
十一、（本题满分6 分。）
设二维随机变量(
, )
X Y 在区域
:0
1,|
|
D
x
y
x
内服从均匀分布，求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量
2
1
Z
X
的方差
( )
D Z 。
【答案】
2 , 0
1,
( )
( , )
0,
X
x
x
f
x
f x y dy
其他.
( )
D Z 2
9
. 【解析】
--- [第 20 页] ---
二维均匀分布(
, )
X Y 的联合密度函数为
1 , ( , )
,
( , )
0, ( , )
,
D
x y
D
S
f x y
x y
D
D
S 是区域D 的面积，
2
1
2
1
1,
2
D
S
所以(
, )
X Y 的联合密度
1, ( , )
,
( , )
0, ( , )
,
x y
D
f x y
x y
D
由连续型随机变量边缘分布的定义，有
2 , 0
1,
, 0
1,
( )
( , )
0,
0,
x
x
X
x
x
dy
x
f
x
f x y dy
其他.
其他,
由一维连续型随机变量的数学期望的定义：
( )
,
(
)
( )
( )
.
EX
x f x dx E g X
g x
f x dx
有
1
0
( )
2
X
EX
x f
x dx
x
xdx
3 1
2
2 ,
0
3
3
x
1
2
2
2
0
( )
2
X
EX
x
f
x dx
x
xdx
4 1
1
1
0
2
2
x
.
本题也可直接利用二维随机变量函数的数学期望公式，用二重积分计算：
1
1
2
0
0
2
(
)
( , )
2
,
3
x
x
D
E X
xf x y dxdy
xdxdy
xdx
dy
x dx
x
y
O
y
x
y
x
1
1
1
--- [第 21 页] ---
1
1
2
2
2
2
3
0
0
1
(
)
( , )
2
. 2
x
x
D
E X
x f x y dxdy
x dxdy
x dx
dy
x dx
由数学期望和方差的性质：
(
)
(
)
( )
E aX
bY
c
aE X
bE Y
c
；
X 与Y 相互独立时，
2
2
(
)
(
)
( )
D aX
bY
c
a D X
b D Y
.
其中, ,
a b c 为常数.
所以有
2
2
1
4
1
(
)
,
2
9
18
DX
EX
EX
2
(2
1)
4
9
DZ
D
X
DX
.