1989考研数一真题解析【闲鱼号“非凡小翊”持续更新中】【闲鱼号：非凡小翊】

(1) 已知

(3) 2 f   ,则 0 (3 )

(3) lim 2 h f h f h    _______.

(2) 设 ( ) f x 是连续函数,且 1 0 ( ) 2 ( ) f x x f t dt   ,则 ( ) f x _______.

(3) 设平面曲线L 为下半圆周 2 1 , y x   则曲线积分 2 2 ( ) L x y ds    _______.

(4) 向量场 2 2 ( , , ) ln(1 ) z u x y z xy i ye j x z k     在点 (1,1,0) P 处的散度divu _______.

(5) 设矩阵 3 0 0 1 4 0 0 0 3 A           , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E           ,则逆矩阵 1 ( 2 ) A E   =_______.

(1) 当 0 x  时,曲线 1 sin y x x  ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线

(2) 已知曲面 2 2 4 z x y    上点P 处的切平面平行于平面2 2 1 0 x y z    ,则点P 的 坐标是 ( ) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)

(3) 设线性无关的函数 1y 、2y 、3y 都是二阶非齐次线性方程 ( ) ( ) ( ) y p x y q x y f x      的 解, 1 C 、 2 C 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( ) (A) 1 1 2 2 3 C y C y y   (B) 1 1 2 2 1 2 3 ( ) C y C y C C y    (C) 1 1 2 2 1 2 3 (1 ) C y C y C C y     (D) 1 1 2 2 1 2 3 (1 ) C y C y C C y    

(4) 设函数 2 ( ) ,0 1, f x x x    而 1 ( ) sin , , n n S x b n x x        其中 1 0 2 ( )sin , 1,2,3, nb f x n xdx n     …,则 1 ( ) 2 S  等于 ( ) (A) 1 2  (B) 1 4  (C) 1 4 (D) 1 2 --- [第 2 页] ---

(5) 设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式| | 0 A  ,则A 中 ( ) (A) 必有一列元素全为0 (B) 必有两列元素对应成比例 (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合

(1) 设 (2 ) ( , ) z f x y g x xy    ,其中函数 ( ) f t 二阶可导, ( , ) g u v 具有连续的二阶偏导数, 求 2z x y   .

(2) 设曲线积分 2 ( ) C xy dx y x dy    与路径无关,其中( ) x  具有连续的导数,且(0) 0   , 计算 (1,1) 2 (0,0) ( ) xy dx y x dy    的值.

(3) 计算三重积分 ( ) x z dV    ,其中是由曲面 2 2 z x y   与 2 2 1 z x y    所围 成的区域.

  展为x 的幂级数.

t f t dt     ,其中f 为连续函数,求 ( ) f x . 六、(本题满分7 分.) 证明方程 0 ln 1 cos2 x x xdx e      在区间(0,)内有且仅有两个不同实根. 七、(本题满分6 分.) 问为何值时,线性方程组 1 3 1 2 3 1 2 3 4 2 2 6 4 2 3 x x x x x x x x                   有解,并求出解的一般形式. 八、(本题满分8 分.) 假设为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明： --- [第 3 页] ---

(1) 1  为 1 A的特征值；

(2) A  为A 的伴随矩阵A的特征值. 九、(本题满分9 分.) 设半径为R 的球面的球心在定球面 2 2 2 2 ( 0) x y z a a     上,问当R 为何值时,球 面在定球面内部的那部分的面积最大？ 十、填空题(本题满分6 分,每小题2 分.)

(1) 已知随机事件A 的概率 ( ) P A =0.5,随机事件B 的概率 ( ) P B =0.6 及条件概率 ( ) P B A  =0.8,则和事件A B  的概率 ( ) P A B  =_______.

(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6 和0.5.现已知目标被命中, 则它是甲射中的概率为_______.

(3) 若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程 2 1 0 x x    有实根的概率是______. 十一、(本题满分6 分.) 设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)为 2 的正态分布,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量 2 3 Z X Y    的概率密度函数. --- [第 4 页] --- 1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

(1) 【答案】1  【解析】原式= 0 1 (3 )

(3) 1 lim

(3) 1 2 2 h f h f f h         .

(2) 【答案】 1 x  【解析】由定积分的性质可知, 1 0 ( ) f t dt  和变量没有关系,且 ( ) f x 是连续函数,故 1 0 ( ) f t dt  为一常数,为简化计算和防止混淆,令 1 0 ( ) f t dt a   ,则有恒等式 ( ) 2 f x x a   , 两边0 到1 积分得 1 1 0 0 ( ) ( 2 ) f x dx x a dx     , 即  1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 1 ( 2 ) 2 2 2 a x a dx xdx a dx x a x                1 2 2 a   , 解之得 1 2 a  ,因此 ( ) 2 1 f x x a x     .

(3) 【答案】 【解析】方法一：L 的方程又可写成 2 2 1( 0) x y y    ,被积分函数在L 上取值,于是 原积分= 1 L ds    (半径为1 的的半圆周长). 方法二：写出L 的参数方程, cos sin x t y t      ,( 0) t    则 0 0 2 2 2 2 2 2 ( ) (cos sin ) ( sin ) cos 1 L x y ds t t t tdt dt                 .

(4) 【答案】2 【解析】直接用散度公式 2 2 [ ( ) ( ) ( ln(1 ))] z P P divu xy ye x z x y z            2 2 0 (1,1,0) 2 2 2 20 ( ) 1 0 1 1 2 1 1 0 z z y e x e z           . --- [第 5 页] ---

(5) 【答案】 1 0 0 1 1 0 2 2 0 0 1              【解析】由于 3 0 0 2 0 0 1 0 0 2 1 4 0 0 2 0 1 2 0 0 0 3 0 0 2 0 0 1 A E                                   , 为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆. 方法一：如果对( 2 ) A E E   作初等行变换,则由 1 ( 2 ) ( ( 2 ) ) A E E E A E       可以直接 得出 1 ( 2 ) A E   . 本题中,第一行乘以  1  加到第二行上;再第二行乘以1 2 ,有 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 0 0 1 0 0 2 0 1 1 0 0 1 0 0 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1                                      , 从而知 1 1 0 0 1 1 ( 2 ) 0 2 2 0 0 1 A E                . 方法二：对于2 阶矩阵的伴随矩阵有规律： a b A c d       ,则求A 的伴随矩阵 * a b d b A c d c a                  . 如果 0 A  ,这样 1 1 1 a b d b d b c d c a c a A ad bc                           . 再利用分块矩阵求逆的法则： 1 1 1 0 0 0 0 A A B B                , --- [第 6 页] --- 本题亦可很容易求出 1 1 0 0 1 1 ( 2 ) 0 2 2 0 0 1 A E                .

(1) 【答案】(A) 【解析】函数 1 sin y x x  只有间断点 0 x  . 0 0 1 lim lim sin x x y x x      ,其中 1 sin x 是有界函数,而当 0 x   时, x 为无穷小,而无穷 小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小, 所以 0 0 1 lim lim sin 0 x x y x x       ,故函数没有铅直渐近线. 0 1 sin 1 sin lim lim lim 1 1 x x x t x y t x t x        令 , 所以 1 y 为函数的水平渐近线,所以答案为(A). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数 ( ) y f x  在其间断点 0 x x  处有 0 lim ( ) x x f x  ,则 0 x x  是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当lim ( ) ,( x f x a a   为常数）,则y a  为函数的水平渐近线.

(2) 【答案】(C) 【解析】题设为求曲面 : ( , , ) 0 S F x y z  (其中 2 2 ( , , ) 4 F x y z z x y     )上点P 使S 在该点处的法向量n  与平面2 2 1 0 x y z    的法向量   0 2,2,1 n  平行. S 在 ( , , ) P x y z 处的法向量   , , 2 ,2 ,1 F F F n x y x y z               , 若 0 // , n n 则 0, n n    为常数,即2 2 ,2 2 ,1 x y       .即 1, 1 x y   . 又点 ( , , ) P x y z S  ,所以 2 2 2 2 ( , ) (1,1) 4 4 1 1 2 x y z x y         ,故求得 (1,1,2) P . 因此应选(C).

(3) 【答案】(D) --- [第 7 页] --- 【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知, 1 3 2 3 , y y y y   为方程对应齐 次方程的特解,所以方程 ( ) ( ) ( ) y p x y q x y f x      的通解为 1 1 3 2 2 3 3 ( ) ( ) y C y y C y y y      , 即 1 1 2 2 1 2 3 (1 ) y C y C y C C y      ,故应选D.

(4) 【答案】(B) 【解析】( ) S x 是函数 ( ) f x 先作奇延拓后再作周期为2 的周期延拓后的函数的傅式级数 的和函数,由于( ) S x 是奇函数,于是 1 1 ( ) ( ) 2 2 S S   . 当 1 2 x  时, ( ) f x 连续,由傅式级数的收敛性定理, 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 S f    .因此, 1 1 ( ) 2 4 S   .应选(B).

(5) 【答案】(C) 【解析】本题考查| | 0 A  的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必 要. 因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了 | | 0 A  的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合. 以3 阶矩阵为例,若 1 1 2 1 2 3 1 3 4 A           , 条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有| | 0 A  ,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选. 若 1 2 3 1 2 4 1 2 5 A           ,则| | 0 A  ,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确. 这样用排除法可知应选(C).

(1) 【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求z x   ,也可以先求z y   . 方法一：先求z x   ,由复合函数求导法, --- [第 8 页] --- 1 2 1 2 (2 ) ( ) ( ) 2 z f x y g x g xy f g yg x x x x                      , 再对y 求偏导,得 2 1 2 (2 ) 2 (2 ) z f g yg f x y x y y y                11 12 2 21 22 ( ) ( ) ( ) ( ) g x g xy g yg x yg xy y y y y                               11 12 2 21 22 2 0 0 f g xg g yg xyg             21 2 22 2 f xg g xyg         . 方法二：先求z y   , 1 2 2 (2 ) ( ) ( ) z f x y g x g xy f xg y y y y                    , 再对x 求偏导数,得 2 2 2 ( ) z z f xg x y y x x             2 21 22 (2 ) ( ) ( ) f x y g xg x xg xy x x x                2 21 22 2 f g xg xyg         . 【相关知识点】复合函数求导法则：若 ( , ) u u x y  和 ( , ) v v x y  在点( , ) x y 处偏导数存在, 函数 ( , ) z f u v  在对应点( , ) u v 具有连续偏导数,则复合函数 [ ( , ), ( , )] z f u x y v x y  在点 ( , ) x y 处的偏导数存在,且 , z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y                   .

(2) 【解析】方法一：先求出( ) x  ,再求曲线积分. 设 ( , ), ( , ) P x y Q x y 有连续偏导数,在所给的单连通区域D 上, L Pdx Qdy   与路径无 关,则在D 上有Q P x y      ,所以 ( ) 2 , y x xy   即 2 ( ) 2 , ( ) x x x x C       .由(0)  =0,得 0 C  ,即 2 ( )x x   ,因此 --- [第 9 页] --- (1,1) (1,1) (1,1) 2 2 2 2 2 2 2 (0,0) (0,0) (0,0) 1 ( ) 2 I xy dx y x dy xy dx yx dy y dx x dy           (1,1) (0,0) (1,1) 2 2 2 2 (0,0) 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 d x y x y     . 或取特殊路径如图： 1 1 2 2 2 0 0 0 1 L I xy dx yx dy dx y dy          1 2 0 1 1 2 2 y         . 方法二：不必求出( ) x  ,选取特殊的路径,取积分路径如图,则 (1,1) 2 (0,0) ( ) I xy dx y x dy     1 1 0 0 1 1

(0) 0 2 2 y dy xdx         .

(3) 【解析】利用三重积分的性质, 关于yz 平面对称, x 对x 为奇函数,所以 0 xdV    ,即 ( ) x z dV zdV       . 是由球心在原点半径为1 的上半球面与顶点在原点、对称轴为z 轴、半顶角为4 的锥面 所围成.故可选用球坐标变换,则 0 2 0 0 1 4             ： ， ， , 所以 2 cos sin I zdV d d d           2 1 1 3 3 4 4 0 0 0 0 0 1 cos sin 2 sin 2 2 d d d d d                   1 4 4 0 0 1 1 cos2 2 4 8                      .

f x  容易展开, 2 2 2 2 2 1 1 (1 ) ( 1) 2 1 ( ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 ( ) 1 x x f x x x x x x x                  . 由 2 0 1 1 ( 1) ( 1) ,(| | 1) 1 n n n n n t t t t t t              ,令 2 t x  得 2 4 2 2 2 2 0 1 1 1 ( 1) ( 1) ,( 1) 1 1 n n n n n x x x x x t x                 --- [第 10 页] --- 即 2 2 0 1 ( ) ( 1) ,(| | 1) 1 n n n f x x x x          所以 0 ( ) ( )

(0) x f x f u du f     , 2 2 0 0 0 0 1 0 ( 1) arctan ( 1) 1 0 4 x x n n n n n n u du u du                  2 1 0 ( 1) 4 2 1 n n n x n          ,(| | 1) x  当 1 x 时,式 2 1 0 ( 1) 2 1 n n n x n       均收敛,而左端 1 ( ) arctan 1 x f x x    在 1 x  处无定义. 因此 2 1 0 1 ( 1) ( ) arctan , [ 1,1) 1 4 2 1 n n n x f x x x x n              .

0 0 0 ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) x x x f x x x t f t dt x x f t dt tf t dt          , 所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得 0 0 ( ) cos ( ) ( ) ( ) cos ( ) x x f x x f t dt xf x xf x x f t dt          , 再求导,得 ( ) sin ( ) f x x f x    ,即 ( ) ( ) sin f x f x x    . 这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为 2 1 0 r  , 此特征方程的根为r i ,而右边的sin x 可看作 sin x e x   , i i    为特征根,因此非 齐次方程有特解 sin cos Y xa x xb x   . 代入方程并比较系数,得 1 0, 2 a b   ,故 cos 2 x Y x  ,所以 1 2 ( ) cos sin cos 2 x f x c x c x x    , 又因为

(0) 0,

(0) 1 f f    ,所以 1 2 1 0, 2 c c   ,即 1 ( ) sin cos 2 2 x f x x x   . 六、(本题满分7 分.) 【解析】方法一：判定方程 ( ) 0 f x  等价于判定函数 ( ) y f x  与x 的交点个数. --- [第 11 页] --- 令 0 ( ) ln 1 cos2 x f x x xdx e       , 其中 0 1 cos2xdx    是定积分,为常数,且被积函数1 cos2x  在(0, ) 非负,故 0 1 cos2 0 xdx     ,为简化计算,令 0 1 cos2 0 xdx k      ,即 ( ) ln x f x x k e    , 则其导数 1 1 ( ) f x x e    ,令 ( ) 0 f x   解得唯一驻点x e  , 即 ( ) 0,0 ( ) 0, f x x e f x e x           , 所以x e  是最大点,最大值为 ( ) ln 0 e f e e k k e      . 又因为 0 0 lim ( ) lim(ln ) lim ( ) lim (ln ) x x x x x f x x k e x f x x k e                   ,由连续函数的介值定理知在(0, )e 与( , ) e  各有且仅有一个零点(不相同),故方程 0 ln 1 cos2 x x xdx e      在(0, ) 有且仅有两个 不同实根. 方法二： 2 0 0 1 cos2 sin xdx xdx       , 因为当0 x    时,sin 0 x  ,所以   2 0 0 0 2sin 2 sin 2 cos 2 2 0 xdx xdx x           , 其它同方法一. 七、(本题满分6 分.) 【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换. 第一行分别乘以有  4  、  6  加到第二行和第三行上,再第二行乘以  1  加到第三行 上, 有 1 0 1 1 0 1 1 0 1 4 1 2 2 0 1 2 3 2 0 1 2 3 2 6 1 4 2 3 0 1 2 4 3 0 0 0 1                                                               . 由于方程组有解的充要条件是( ) ( ) r A r A  ,故仅当 1 0    ,即 1  时,方程组有解.此 时秩( ) ( ) 2 3 r A r A n     ,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解. 由同解方程组 1 3 2 3 1, 2 1, x x x x        令 3 , x t  解得原方程组的通解 --- [第 12 页] --- 1 2 3 1, 2 1, , x t x t x t          (其中t 为任意常数). 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理： 设A 是m n  矩阵,线性方程组Ax b  有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵   A A b   的秩,即是( ) ( ) r A r A  (或者说, b 可由A 的列向量 1 2 , , , n    线表出, 亦等同于 1 2 , , , n    与 1 2 , , , , n b    是等价向量组) 设A 是m n  矩阵,线性方程组Ax b  ,则 （1） 有唯一解  ( ) ( ) . r A r A n   （2） 有无穷多解  ( ) ( ) . r A r A n   （3） 无解  ( ) 1 ( ). r A r A   b 不能由A 的列向量 1 2 , , , n    线表出. 八、(本题满分8 分.) 【解析】(1)由为A 的特征值可知,存在非零向量使A   ,两端左乘 1 A,得 1 A      .因为 0  ,故 0  ,于是有 1 1 A      .按特征值定义知1  是 1 A的特征 值.

(2) 由于逆矩阵的定义 1 | | A A A   ,据第(1)问有 1 | | | | A A A A            ,按特征值定 义,即| | A  为伴随矩阵A的特征值. 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数及非零的n 维 列向量X 使得AX X   成立,则称是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征 向量. 九、(本题满分9 分.) 【解析】由球的对称性,不妨设球面的球心是(0,0, ) a , 于是的方程是 2 2 2 2 ( ) x y z a R     . 先求与球面 2 2 2 2 x y z a    的交线： --- [第 13 页] --- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) , 2 2 , x y z a R a R z a x y z a               . 代入上式得的方程 4 2 2 2 2 4 R x y R a    . 它在平面xOy 上的投影曲线 4 2 2 2 2 2 2 , (0 2 ), 4 0, R x y b b R R a a z           相应的在平面xOy 上围成区域设为 xy D ,则球面在定球面内部的那部分面积 2 2 ( ) 1 xy x y D S R z z dxdy       . 将的方程两边分别对,x y 求偏导得 , z x z y x z a y z a         , 所以 2 2 2 2 ( ) 1 1 ( ) ( ) xy xy x y D D x y S R z z dxdy dxdy a z a z             2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) xy xy D D x y R dxdy dxdy a z a z R x y           . 利用极坐标变换(0 2 ,0 )b        有 2 2 2 2 2 2 0 0 ( ) xy b D R R S R dxdy d d R x y R             极坐标变换 2 2 2 2 2 0 0 1 ( ) 2 b R d d R R         2 2 2 2 0 2 ( ) 2 ( ) b R R R R b R           代入 4 2 2 2 4 R b R a   ,化简得 3 2 ( ) 2 R S R R a     . 这是一个关于R 的函数,求( ) S R 在(0,2 ) a 的最大值点, ( ) S R 两边对R 求导,并令 ( ) 0 S R   ,得 2 3 ( ) 4 0 R S R R a       ,得 4 3 a R  . --- [第 14 页] --- 且 4 ( ) 0,0 3 4 ( ) 0, 2 3 S R R a S R a R a            , 故 4 3 a R  时( ) S R 取极大值,也是最大值. 因此,当 4 3 a R  时球面在定球面内部的那部分面积最大. 十、填空题(本题满分6 分,每小题2 分.)

(1) 【解析】 方法一： ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P AB     ( ) ( ) ( ) ( | )

0. 7 P A P B P A P B A     . 方法二： ( ) ( ) ( ) P A B P B P AB    ( ) ( ) ( | )

0. 6

0. 5 0.2

0. 7 P B P A P B A       .

(2) 【解析】设事件A =“甲射中”, B =“乙射中”,依题意, ( )

0. 6 P A  , ( )

0. 5 P B  , A 与B 相互独立, ( ) ( ) ( )

0. 6 0.5

0. 3 P AB P A P B      . 因此,有 ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P AB    

0. 6

0. 5

0. 3

0. 8     . ( ( )) ( ) ( | )

0. 75 ( ) ( ) P A A B P A P A A B P A B P A B        .

(3) 【解析】设事件A =“方程有实根”,而方程 2 1 0 x x    有实根的充要条件是其判别 式 2 4 0     ,即    2 2 4 0 4 A        . 随机变量在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为 0, 1, 1 ( ) , 1 6, 6 1 1,

6. x x F x x x            由分布函数的定义   ( ) P x k F k   ,     2 1 2 1 0.2

0. 8. P P        而  2

0. P   所以由概率的可加性,有       2 ( ) 4 2 2 P A P P         

0. 8 0

0. 8    . 【相关知识点】广义加法公式： ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P AB     . 条件概率： ( ) ( | ) ( ) P BA P B A P A  ,所以 ( ) ( ) ( | ) ( ) P AB P BA P B A P A   . --- [第 15 页] --- 十一、(本题满分6 分.) 【解析】 ~ (1,2) X N , ~ (0,1) Y N ,由独立的正态变量X 与Y 的线性组合仍服从正态分布, 且 2 3 5, EZ EX EY     4 4 2 1 9 DZ DX DY      , 得 ~ (5,9) Z N . 代入正态分布的概率密度公式,有Z 的概率密度函数为 2 ( 5) 18 1 ( ) 3 2 z Zf z e     . 【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分 布. 若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有 ( ) ( ) ( ) E aX bY c aE X bE Y c      , 2 2 ( ) ( ) ( ) D aX bY c a D X b D Y     , 其中, , a b c 为常数.