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1988 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷一）
一．(本题满分15 分，每小题5 分)
(1) 求幂级数
1
(
3)
3
n
n
n
x
n
的收敛域.
解：因
1
1
(
3)
1
(
1) 3
lim
lim
3
3 ,
(
3)
3(
1)
3
3
n
n
n
n
n
n
x
n
n
x
x
x
n
n
故1
3
1 0
6
3 x
x
即
时，
幂级数收敛.
„„3 分
当
0
x
时，原级数成为交错级数
1
1
( 1)n
n
n
，是收敛的.
„„4 分
当
6
x
时，原级数成为调和级数
1
1
n
n
，是发散的.
„„5 分
所以，所求的收敛域为
0,6 .
(2) 已知f(x)= e
2
x ,f
( )
x
=1-x,且 (x)0.求 (x)并写出它的定义域.
解：由
2
[ ( )]
1
x
e
x
，得
( )
ln(1
)
x
x
.
„„3 分
由ln(1
)
0
x
，得1
1
x
即
0
x
.
„„5 分
所以( )
ln(1
)
x
x
，其定义域为(
,0).
(3) 设S 为曲面
1
2
2
2
z
y
x
的外侧，计算曲面积分
s
dxdy
z
dxdx
y
dydz
x
I
3
3
3
. 解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有
2
2
2
3
(
)
I
x
y
z dv
（其中是由S 所围成的区域）
„„2 分
2
1
2
2
0
0
0
3
d
sin
d
r
r
dr
„„4 分
12
5
.
„„5 分
--- [第 2 页] ---
二、 填空题：(本题满分12 分，每小题3 分)
(1) 若f(t)=
xlim t
tx
x
2)
1
1(
，则
( )
f t
2
(2
1)
t
t
e
(2) 设f(x)是周期为2 的周期函数，它在区间
1,1
上的定f(x)=
0
1
,2
1
0,
3
x
x
x
,则f(x)的付立叶级
数在x=1 处收敛于
2
(3) 设f(x)是连续函数，且
1
0
3
,
)
(
x
x
dt
t
f
则f(7)=
1
12
.
(4) 设4*4 矩阵A=
)
,
(
4
,3
,2
，B=
)
,
(
4
,3
,2
，其中，
4
,3
2,
,
,
均为4 维列向量，
且已知行列式
,1
,4
B
A
则行列式
B
A
=.
40
.
三、 选择题 ( 本题满分15 分，每小题3 分)
(1) 若函数y=f(x)有
2
1
)
(
0
x
f
，则当
0
x
时，该函x=
0x 处的微分dy 是
(B)
(A) 与x
等价的无穷小
(B) 与x
同阶的无穷小
(C) 比x
低阶的无穷小
(D) 比x
高阶的无穷小
(2) 设
( )
y
f x
是方程
0
4
2
y
y
y
的一个解，若
( )
0
f x
，且
0
)
( 0
x
f
，则函数
( )
f x 在点
0x
(A)
(A) 取得极大值
(B) 取得极小值
(C) 某个邻域内单调增加
(D) 某个邻域内单调减少
(3) 设有空间区域
2
2
2
2
1 :
R
z
y
x
,
;0
z
及
2
2
2
2
2 :
R
z
y
x
,
,0
,0
,0
z
y
x
则 (C)
(A)
1
2
4
xdv
xdv
(B)
1
2
4
ydv
ydv
(C)
1
2
4
zdv
zdv
(D)
1
2
4
xyzdv
xyzdv
(4) 若
n
n
n x
a
)1
(
1
在x=-1 处收敛，则此级数在x=2 处
(B)
(A) 条件收敛
(B) 绝对收敛
(C) 发散
(D) 收敛性不能确定
(5) n 维向量组
1
2
,
,
,
(3
)
s
s
n
线性无关的充分必要条件是
(D)
(A) 有一组不全为0 的数
1
2
,
,
,
,
s
k k
k
使
1
1
2
2
0
s
s
k
k
k
.
(B)
1
2
,
,
,
s
中任意两个向量都线性无关.
(C)
1
2
,
,
,
s
中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.
(D)
1
2
,
,
,
s
中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.
四．(本题满分6 分)
--- [第 3 页] ---
设
)
(
)
(
x
y
xg
y
x
yf
u
，其中f,g 具有二阶连续导数，求
2
2
2
u
u
x
y
x
x y
.
解：
.
u
x
y
y
y
f
g
g
x
y
x
x
x
„„2 分
2
2
2
3
1
. u
x
y
y
f
g
x
y
y
x
x
„„3 分
2
2
2
. u
x
x
y
y
f
g
x y
y
y
x
x
„„5 分
所以
2
2
2
0
u
u
x
y
x
x y
.
„„6 分
五、 (本题满分8 分)
设函数y=y(x)满足微分方程
,
2
2
3
xe
y
y
y
且图形在点(0，1)处的切线与曲线
1
2
x
x
y
在该点的切线重合，求函数
).
(x
y
y
解：对应齐次方程的通解为
2
1
2
x
x
Y
C e
C e
.
„„2 分
设原方程的特解为
*
,
x
y
Axe
„„3 分
得
2
A .
„„4 分
故原方程通解为
2
2
1
2
( )
2
x
x
x
y x
C e
C e
xe
.
„„5 分
又已知有公共切线得
0
0
|
1,
|
1
x
x
y
y
，
„„7 分
即
1
2
1
2
1,
2
1
c
c
c
c
解得
1
2
1,
0
c
c
.
„„8 分
所以
2
(1 2 )
.
x
y
x e
六、(本题满分9 分)
设位于点(0，1)的质点A 对质点M 的引力大小为
2r
k (k>0 为常数，r 为质点A 与M 之
间的距离—)，质点M 沿曲线
2
2
x
x
y
自B(2,0)运动到O(0，0).求在此运动过程中质点A
对质M 点的引力所做的功.
解：
{0
,1
}
MA
x
y
„„2 分
2
2
(1
) .
r
x
y
因引力f
的方向与MA
一致，
故
3 {
,1
}
k
f
x
y
r
.
„„4 分
--- [第 4 页] ---
从而
3 [
(1
)
]
BO
k
W
xdx
y dy
r
„„6 分
1
(1
)
5
k
.
„„9 分
七、(本题满分6 分)
已知
PB
AP
,其中
1
1
2
0
1
2
0
0
1
,
1
0
0
0
0
0
0
0
1
P
B
求A 及
5
A .
解：先求出
1
1
0
0
2
1
0
4
1
1
P
.
„„2 分
因
PB
AP
，故
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
2
1
0
0
0
0
2
1
0
2
1
1
0
0
1
4
1
1
A
PBP
1
0
0
1
0
0
1
0
0
2
0
0
2
1
0
2
0
0
2
0
1
4
1
1
6
1
1
.
„„4 分
从而
5
5
5
1
1
1
5
1
1
A
AAAAA
PBP
PBP
PBP
PB P
PBP
A
个
个
（
）(
) (
)
=
=
.
„„6 分
八、(本题满分8 分)
已知矩阵
x
A
1
0
1
0
0
0
0
2
与
1
0
0
0
0
0
0
2
y
B
相似，
(1) 求x 与y； (2) 求一个满足
B
AP
P
1
的可逆矩阵P .
解：(1) 因A 与B 相似，故|
| |
|
E
A
E
B ，即
„„1 分
2
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
y
x
，
亦即
2
2
(
2)(
1)
(
2)(
(1
)
)
x
y
y
.
--- [第 5 页] ---
比较两边的系数得
0,
1
x
y
.此时
2
0
0
0
0
1
0
1
0
A
，
2
0
0
0
1
0
0
0
1
B
.
„„3 分
(2) 从B 可以看出A 的特征值
2,1, 1
.
„„4 分
对
2
，可求得A 的特征向量为
1
1
0
0
p
.
对
1
，可求得A 的特征向量为
2
0
1
1
p
.
对
1
，可求得A 的特征向量为
3
0
1
1
p
.
„„7 分
因上述
1
2
3
,
,
p
p
p 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关.
令
1
2
3
1
0
0
(
,
,
)
0
1
1
0
1
1
p p
p
P
，则P 可逆，且有
B
AP
P
1
.
„„8 分
九、(本题满分9 分)
设函数
)
(x
f
在区间
b
a,
上连续，且在
)
,
(
b
a
内有
0
)
(
x
f
.证明：在
)
,
(
b
a
内存在唯一
的，使曲线
)
(x
f
y
与两直线
a
x
y
),
(
所围平面图形面积
1s 是曲线
)
(x
f
y
与两直
线
a
x
y
),
(
所围平面图形面积
2s 的3 倍.
证：存在性 在[ , ]
a b 上任取一点t ，令
b
t
t
a
dx
t
f
x
f
dx
x
f
t
f
t
F
)]
(
)
(
[
3
)]
(
)
(
[
)
(
( )(
)
( )
3
( )
( )(
)
t
b
a
t
f t t
a
f t dx
f x dx
f t b t
„3 分
则
( )
F t 在[ , ]
a b 上连续.
又因
0
)
(
x
f
,故
( )
f x 在[ , ]
a b 上是单调增加的.
于是在( , )
a b 内取定点c ，有
( )
3
[ ( )
( )]
3
[ ( )
( )]
3
[ ( )
( )]
b
c
b
a
a
c
F a
f x
f a dx
f x
f a dx
f x
f a dx
1
1
3
[ ( )
( )]
3
( )
( ) (
)
0,
b
c f x
f a dx
f
f a
b
c
c
b
..
--- [第 6 页] ---
( )
[ ( )
( )]
[ ( )
( )]
[ ( )
( )]
b
c
b
a
a
c
F b
f b
f x dx
f b
f x dx
f b
f x dx
[ ( )
( )]
c
a f b
f x dx
2
2
( )
(
) (
)
0,
f b
f
c
a
a
c
.
„„5 分
所以由介值定理知，在( , )
a b 内存在ξ ,使
0
)
(
F
，即
.
3 2
1
S
S
„„6 分
唯一性 因
( )
( )[(
)
3(
)]
0
F t
f t
t
a
b
t
，
„„8 分
故
)
(t
F
在( , )
a b 内是单调增加的.因此，在( , )
a b 内只有一个ξ , 使
.
3 2
1
S
S
„„9 分
十、填空题(共6 分，每个2 分)
(1) 设三次独立实验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率等于27
19 ，则
事件A 在一次试验中出现的概率为
1
(2) 在区间
)1,0
(
中随机地取两个数，则事件“两数之和小于
5
6 ”的概率为
17
25
.
(3) 设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02 的正态分布.已知
)
(x
=
du
e
u
x
2
2
2
1
，
9938
.0
)
5. 2
(
，则X 落在区间(9.95，10.05)内的概率为
0. 9876
.
十一、(本题满分6 分)
设随机变量X 的概率密度函数为
)
1(
1
)
(
2x
x
fx
，求随机变量
3
1
X
Y
的概率密
度函数
)
(y
fY
.
解：因Y 的分布函数
( )
(
)
Y
F
y
P Y
y
„„1 分
3
3
3
{1
}
{
1
}
{
(1
) }
P
X
y
P
X
y
P X
y
„„2 分
3
3
3
(1
)
(1
)
2
1
1
arctan
ar
(
ctan(1
1
)
)
2
y
y
dx
x
y
x
.
„„4 分
故Y 的概率密度函数为
)
(y
fY
3
6
3
(1
)
( )
1 (1
)
Y
d
y
F
y
dy
y
.
„„6 分