# 考研数学高分笔记·数字化精读讲义（视觉转录版）

> 本讲义基于考研数学高分上岸学霸手写笔记高清原稿（涵盖线性代数与概率论核心篇章），经由多模态视觉转录与 LaTeX 规范化重构生成。保留原笔记逻辑体系、解题口诀与实战技巧，公式全部采用矢量数学排版。

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## 目录
- [第一部分 线性代数·第 1 讲 行列式](#第一部分-线性代数第-1-讲-行列式)
  - [1. 行列式的三大定义](#1-行列式的三大定义)
  - [2. 行列式的七大核心性质](#2-行列式的七大核心性质)
  - [3. 几个重要的特殊行列式](#3-几个重要的特殊行列式)
  - [4. 具体型行列式计算的 7 大方法](#4-具体型行列式计算的-7-大方法)
  - [5. $ab$ 型行列式的通式推导](#5-ab-型行列式的通式推导)
  - [6. 线性组合的矩阵乘积表示](#6-线性组合的矩阵乘积表示)
  - [7. 永乐老师例题精析与三种拆解法](#7-永乐老师例题精析与三种拆解法)
  - [8. 克莱默法则（Cramer's Rule）及推论](#8-克莱默法则cramers-rule及推论)
- [第二部分 概率论与数理统计·第 1 章 随机事件与概率](#第二部分-概率论与数理统计第-1-章-随机事件与概率)
  - [1.1 随机试验与随机事件](#11-随机试验与随机事件)
  - [1.2 事件之间的关系与集合运算](#12-事件之间的关系与集合运算)
  - [1.3 事件的运算定律](#13-事件的运算定律)
  - [1.4 概率的三大定义与古典概型](#14-概率的三大定义与古典概型)
  - [1.5 几何概型与经典“约会问题”](#15-几何概型与经典约会问题)
  - [1.6 概率的五大性质与包含排斥原理](#16-概率的五大性质与包含排斥原理)

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# 第一部分 线性代数·第 1 讲 行列式

## 1. 行列式的三大定义

### (1) 本质定义（几何定义 / 向量线性相关性）
- 若 $|D| \neq 0$，则行（列）向量组**线性无关**；
- 若 $|D| = 0$，则行（列）向量组**线性相关**。

### (2) 逆序数法定义（全排列求和公式）
设 $n$ 阶行列式为：
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
= \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}
$$
其中：
- $j_1 j_2 \cdots j_n$ 为列标的一个 $n$ 级全排列；
- $\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)$ 表示该排列的逆序数。

### (3) 行列式的展开定理（按行/按列拉普拉斯展开）
- **余子式 $M_{ij}$**：去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列后，由剩下的 $n-1$ 阶子式构成的行列式，记为 $M_{ij}$。
- **代数余子式 $A_{ij}$**：
  $$
  A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}
  $$
- **展开计算公式（选 0 越多的行或列展开越快）**：
  - 按第 $i$ 行展开：
    $$
    |A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij} = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \quad (i = 1, 2, \dots, n)
    $$
  - 按第 $j$ 列展开：
    $$
    |A| = \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ij} = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} \quad (j = 1, 2, \dots, n)
    $$
- **代数余子式异行相乘为零定理（正交性）**：
  行列式某一行（列）的元素，与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和恒为 $0$：
  $$
  \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{kj} = a_{i1}A_{k1} + a_{i2}A_{k2} + \cdots + a_{in}A_{kn} = 0 \quad (i \neq k)
  $$
  $$
  \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ik} = a_{1j}A_{1k} + a_{2j}A_{2k} + \cdots + a_{nj}A_{nk} = 0 \quad (j \neq k)
  $$

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## 2. 行列式的七大核心性质

| 序号 | 规则名称 | 核心数学表达式 / 性质要点 |
| :---: | :--- | :--- |
| **①** | **转置不变性** | 行列互换，其值不变：$|A| = |A^T|$ |
| **②** | **全零则为零** | 若行列式中某一行（列）元素全为 $0$，则行列式的值为 $0$ |
| **③** | **提公因式** | 某一行（列）有公因子 $k$，则 $k$ 可提到行列式符号外面：$\det(\cdots, k\alpha_i, \cdots) = k \det(\cdots, \alpha_i, \cdots)$ |
| **④** | **加法拆分** | 某一行（列）是两组元素之和，可拆分成两个同阶行列式之和 |
| **⑤** | **两行互换反号** | 交换行列式的任意两行（列），行列式的值变号（互换一次改变一次符号） |
| **⑥** | **两行成比例为零** | 行列式中两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式的值为 $0$ |
| **⑦** | **倍加不变性** | 将某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列），行列式的值**严格保持不变** |

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## 3. 几个重要的特殊行列式

### (1) 主对角线行列式（上/下三角行列式）
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
= \prod_{i=1}^n a_{ii} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}
$$

### (2) 副对角线行列式（副三角行列式）
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2,n-1} & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & 0 & \cdots & 0
\end{vmatrix}
= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n} a_{2,n-1} \cdots a_{n1}
$$

### (3) 拉普拉斯分块矩阵展开式
设 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，则：
$$
\begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|
$$
$$
\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} C & A \\ B & O \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} O & A \\ B & C \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A| \cdot |B|
$$

### (4) 范德蒙德行列式（Vandermonde Determinant）
$$
V_n = \begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
= \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)
$$
> **做题口诀**：化为范德蒙德形式后，**“盯紧第 2 行元素”**，用下标大的减去下标小的所有差值相乘！

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## 4. 具体型行列式计算的 7 大方法

1. **直接展开法**：适用于某行（列）零元素极多，或者低阶（2、3阶）行列式；
2. **爪形行列式（箭形）**：图形特征呈 $\llcorner, \ulcorner, \urcorner, \lrcorner$ 形，核心口诀：**“用斜爪子消去平（竖）爪子”**，化为主对角线三角形；
3. **异爪型行列式**：阶数不高可直接展开，阶数高时通常建立**递推数列关系式**求解；
4. **行（列）和相等型**：将所有列（或行）全部加到第一列（或第一行），提取公因式后，首行全变 $1$，再通过初等变换化下三角；
5. **消零化基本型**：通过倍加消元，化为主对角型或副对角型；
6. **拉普拉斯分块展开法**：利用分块矩阵结构，直接拆为 $|A||B|$ 或 $(-1)^{mn}|A||B|$；
7. **范德蒙德化归法**：通过提取公因式构造出第一行全为 $1$、各行成等比递增的形式，直接套用公式。

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## 5. $ab$ 型行列式的通式推导

### (1) $a$ 在主对角线上
$$
D_n = \begin{vmatrix}
a & b & b & \cdots & b \\
b & a & b & \cdots & b \\
b & b & a & \cdots & b \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b & b & b & \cdots & a
\end{vmatrix}_{n \times n}
= [a + (n-1)b] (a - b)^{n-1}
$$

### (2) $a$ 在副对角线上
$$
G_n = \begin{vmatrix}
b & b & \cdots & b & a \\
b & b & \cdots & a & b \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
b & a & \cdots & b & b \\
a & b & \cdots & b & b
\end{vmatrix}_{n \times n}
= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} [a + (n-1)b] (a - b)^{n-1}
$$

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## 6. 线性组合的矩阵乘积表示

在向量空间与坐标变换中，向量的线性表出可以紧凑地写为矩阵右乘列向量：
- $\alpha_2 - 3\alpha_3 = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix}$
- $2\alpha_1 + 2\alpha_2 - 5\alpha_3 = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -5 \end{bmatrix}$

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## 7. 永乐老师例题精析与三种拆解法

### 【例题 1】三对角下三角带 $-1$ 阶梯行列式求值
计算行列式：
$$
D = \begin{vmatrix}
1 & a & 0 & 0 \\
-1 & 1-a & b & 0 \\
0 & -1 & 1-b & c \\
0 & 0 & -1 & 1-c
\end{vmatrix}
$$
**解法（逐行向上累加）**：
- 执行行变换：$r_2 + r_1 \to r_2$ 得第二行为 $[0, 1, b, 0]$；
- 接着 $r_3 + r_2 \to r_3$ 得第三行为 $[0, 0, 1, c]$；
- 接着 $r_4 + r_3 \to r_4$ 得第四行为 $[0, 0, 0, 1]$；
- 此时行列式化为标准的上三角矩阵：
$$
D = \begin{vmatrix}
1 & a & 0 & 0 \\
0 & 1 & b & 0 \\
0 & 0 & 1 & c \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1
$$

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### 【例题 2】经典行和相等型四阶行列式的三种不同分析思路
求行列式：
$$
D = \begin{vmatrix}
a+x & a & a & a \\
a & a+x & a & a \\
a & a & a+x & a \\
a & a & a & a+x
\end{vmatrix}
$$

#### 🔹 分析一：所有行加到第 1 行（提公因式法）
1. $r_1 + r_2 + r_3 + r_4 \to r_1$，第一行元素全为 $4a+x$；
2. 提取公因式 $(4a+x)$，第一行全化为 $[1, 1, 1, 1]$：
   $$
   D = (4a+x) \begin{vmatrix}
   1 & 1 & 1 & 1 \\
   a & a+x & a & a \\
   a & a & a+x & a \\
   a & a & a & a+x
   \end{vmatrix}
   $$
3. 消去各行首项：$r_2 - a \cdot r_1$，$r_3 - a \cdot r_1$，$r_4 - a \cdot r_1$：
   $$
   D = (4a+x) \begin{vmatrix}
   1 & 1 & 1 & 1 \\
   0 & x & 0 & 0 \\
   0 & 0 & x & 0 \\
   0 & 0 & 0 & x
   \end{vmatrix} = (4a+x) \cdot x^3
   $$

#### 🔹 分析二：某一行 $(-1)$ 倍分别加到其它各行（基准行消去法）
1. 将第 1 行的 $(-1)$ 倍分别加到第 2、3、4 行（$r_2-r_1, r_3-r_1, r_4-r_1$）：
   $$
   D = \begin{vmatrix}
   a+x & a & a & a \\
   -x & x & 0 & 0 \\
   -x & 0 & x & 0 \\
   -x & 0 & 0 & x
   \end{vmatrix}
   $$
2. 将第 2、3、4 列全部加到第 1 列（$c_1 + c_2 + c_3 + c_4$）：
   $$
   D = \begin{vmatrix}
   4a+x & a & a & a \\
   0 & x & 0 & 0 \\
   0 & 0 & x & 0 \\
   0 & 0 & 0 & x
   \end{vmatrix} = (4a+x) x^3
   $$

#### 🔹 分析三：上一行的 $(-1)$ 倍分别加到下一行（阶梯滚下消元法）
1. 从下往上做差：$r_4 - r_3$，$r_3 - r_2$，$r_2 - r_1$：
   $$
   D = \begin{vmatrix}
   a+x & a & a & a \\
   -x & x & 0 & 0 \\
   0 & -x & x & 0 \\
   0 & 0 & -x & x
   \end{vmatrix}
   $$
2. 各列累加到第一列（$c_1 + c_2 + c_3 + c_4 \to c_1$）：
   $$
   D = \begin{vmatrix}
   4a+x & a & a & a \\
   0 & x & 0 & 0 \\
   0 & -x & x & 0 \\
   0 & 0 & -x & x
   \end{vmatrix} = (4a+x) \begin{vmatrix}
   x & 0 & 0 \\
   -x & x & 0 \\
   0 & -x & x
   \end{vmatrix} = (4a+x) x^3
   $$

> **⚠️ 重点避坑提示**：
> 只有二阶、三阶行列式可以使用“对角线相乘相减法（沙路法则）”！四阶及以上行列式**绝对不可以**简单画叉对角相乘，必须通过性质消元或展开定理计算！

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## 8. 克莱默法则（Cramer's Rule）及推论

设有 $n$ 元线性方程组：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\cdots\cdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n
\end{cases}
$$
若系数行列式 $D = |A| \neq 0$，则该方程组有**唯一解**，解为：
$$
x_1 = \frac{D_1}{D}, \quad x_2 = \frac{D_2}{D}, \quad \dots, \quad x_n = \frac{D_n}{D}
$$
其中 $D_j$ 是将 $D$ 中第 $j$ 列替换为常数项列向量 $(b_1, b_2, \dots, b_n)^T$ 所得的行列式。

### 核心推论（考研高频考点）
针对齐次线性方程组 $Ax = 0$（即 $b_1 = b_2 = \cdots = b_n = 0$）：
- **推论 1**：若系数行列式 $|A| \neq 0$，则方程组**只有唯一零解**，即 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$；
- **推论 2**：若方程组**有非零解**，则其系数行列式**必为 $0$**（即 $|A| = 0$）。

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# 第二部分 概率论与数理统计·第 1 章 随机事件与概率

## 1.1 随机试验与随机事件

### (1) 随机试验的三个特征
1. 可以在相同的条件下重复进行；
2. 试验的可能结果有多种，但试验前能预知所有可能的结果；
3. 每次试验之前无法断定哪一个结果会发生。

### (2) 样本点与样本空间
- **样本点 $\omega$**：随机试验的每一个可能的结果；
- **样本空间 $\Omega$**：全体样本点组成的集合。
- **事件分类**：
  - **基本事件**：由单个样本点组成的单点集（发生概率 $0 \sim 100\%$）；
  - **必然事件 $\Omega$**：在每次试验中必然发生的事件（包含全部样本点，发生率 $100\%$）；
  - **不可能事件 $\varnothing$**：在每次试验中都不可能发生的事件（空集，不含任何样本点，发生率 $0\%$）。

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## 1.2 事件之间的关系与集合运算

| 关系/运算 | 集合符号 | 概率语言描述 | 几何意义（Venn 图特征） |
| :--- | :---: | :--- | :--- |
| **包含关系** | $A \subset B$ | 若事件 $A$ 发生必然导致事件 $B$ 发生 | 椭圆 $A$ 位于椭圆 $B$ 内部；$\varnothing \subset A \subset \Omega$ |
| **相等关系** | $A = B$ | $A \subset B$ 且 $B \subset A$，本质为同一事件 | 区域完全重合 |
| **事件的和（并）** | $A \cup B$ | $A$ 与 $B$ 至少有一个发生（“或”） | 覆盖 $A$ 与 $B$ 的并集区域 |
| **事件的积（交）** | $AB$ 或 $A \cap B$ | $A$ 与 $B$ 同时发生（“且”） | $A$ 与 $B$ 重叠的公共重合区域 |
| **互不相容（互斥）** | $AB = \varnothing$ | $A$ 与 $B$ 不可能同时发生 | 区域 $A$ 与区域 $B$ 无任何公共交集 |
| **相互对立（逆事件）**| $B = \bar{A}$ | $A \cup B = \Omega$ 且 $AB = \varnothing$ | 两事件将整个样本空间平分，有且仅有一个发生 |
| **事件的差** | $A - B = A\bar{B}$ | 事件 $A$ 发生且事件 $B$ 不发生 | 属于 $A$ 但剔除掉 $AB$ 的剩余月牙部分 |
| **完备事件组** | $\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega$ | 两两互斥且并集填满全集：$A_i A_j = \varnothing$ ($i \neq j$) | 样本空间的一个无重叠的完整网格划分 |

> **关键辨析**：**“对立事件”必然是“互不相容事件”**；但“互不相容事件”**不一定**是对立事件（互不相容两者的并集不一定覆盖整个样本空间）。

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## 1.3 事件的运算定律

1. **交换律**：$A \cup B = B \cup A$；$AB = BA$
2. **结合律**：$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$；$(AB)C = A(BC)$
3. **分配律**：
   - 并对交的分配：$(A \cup B)C = (AC) \cup (BC)$
   - 交对并的分配：$(AB) \cup C = (A \cup C)(B \cup C)$
4. **德摩根定律（反演律）**：
   $$
   \overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}, \qquad \overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}
   $$
   口诀：**“长杠变短杠，开口反方向”**。
   *注：差运算不满足交换律与结合律！*

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## 1.4 概率的三大定义与古典概型

### (1) 统计定义（公理化体系）
- **非负性**：$0 \le P(A) \le 1$；
- **规范性**：$P(\Omega) = 1$；
- **可列可加性**：若 $A_1, A_2, \dots, A_k$ 两两互不相容（$A_i A_j = \varnothing$），则：
  $$
  P\left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right) = \sum_{i=1}^k P(A_i)
  $$

### (2) 古典概型
适用条件：
1. 样本空间只有有限多个样本点：$\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\}$；
2. 每个样本点出现的可能性严格均等：$P(\omega_1) = P(\omega_2) = \cdots = \frac{1}{n}$。

**计算公式**：
$$
P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\text{事件 } A \text{ 包含的样本点数}}{\text{样本空间样本点总数}}
$$

#### 【经典例题 1】摸球模型
盒中有 3 个白球、2 个红球，现从中任抽 2 个球，求恰好取到“一红一白”的概率：
$$
P(A) = \frac{C_3^1 C_2^1}{C_5^2} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{3}{5}
$$

#### 【经典例题 2】中间数取值模型
袋子中有 10 个球，分别标有数字 1 到 10，从中任取 3 个，问大小排在中间的号码恰好为 5 的概率是多少？
- 从 1~4 中选 1 个比 5 小的球：$C_4^1$；
- 选出数字 5：$C_1^1$；
- 从 6~10 中选 1 个比 5 大的球：$C_5^1$；
$$
P = \frac{C_4^1 C_1^1 C_5^1}{C_{10}^3} = \frac{4 \times 1 \times 5}{\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}
$$

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## 1.5 几何概型与经典“约会问题”

当样本空间为连续区域 $\Omega$ 时，每个样本点落在某区域内的概率与其几何测度（长度、面积、体积）成正比：
$$
P(A) = \frac{A \text{ 的测度}}{\Omega \text{ 的测度}}
$$

### 【经典例题】约会问题（会面问题）
**题目**：两人相约在 7:00 ~ 8:00 在某地见面，先到的一人等待另一个人 20 分钟，若未等到便离开，试求两人能够会面的概率。

**解析**：
设两人到达时刻分别为 $x$ 和 $y$（以分钟计，$0 \le x, y \le 60$）。
整个样本空间为一个边长为 60 的正方形，面积为：
$$
S_\Omega = 60 \times 60 = 3600
$$
两人能够会面的充分必要条件为：
$$
|x - y| \le 20 \iff -20 \le x - y \le 20
$$
其未会面的区域由两个等腰直角三角形组成，边长为 $60 - 20 = 40$。
因此阴影会面区域面积为：
$$
S_A = S_\Omega - 2 \times \left(\frac{1}{2} \times 40 \times 40\right) = 3600 - 1600 = 2000
$$
所求概率为：
$$
P = \frac{S_A}{S_\Omega} = \frac{2000}{3600} = \frac{5}{9}
$$

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## 1.6 概率的五大性质与包含排斥原理

1. **性质 1**：$P(\varnothing) = 0$（不可能事件的概率为 0，但反之逆命题不成立，概率为 0 的事件不一定是空集）；
2. **性质 2（有限可加性）**：若 $A_1, \dots, A_n$ 两两互不相容，则 $P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n P(A_i)$；
3. **性质 3（单调性与差事件公式）**：
   - 若 $B \subset A$，则 $P(A - B) = P(A) - P(B)$，且 $P(A) \ge P(B)$；
   - 一般情况下：$P(A - B) = P(A\bar{B}) = P(A) - P(AB)$；
4. **性质 4（逆事件公式）**：
   $$
   P(\bar{A}) = 1 - P(A)
   $$
5. **性质 5（一般加法公式）**：
   $$
   P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)
   $$

### 推论 1：三事件加法原理（包含排斥公式）
$$
P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(CA) + P(ABC)
$$

### 推论 2：半可加性（Boole 不等式）
对任意事件序列 $A_1, A_2, \dots, A_n$：
$$
P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) \le \sum_{i=1}^n P(A_i)
$$