📐 考研数学公式大全
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📐 第一篇 高等数学公式

1. 导数公式

$(\tan x)' = \sec^2 x$
$(\cot x)' = -\csc^2 x$
$(\sec x)' = \sec x \tan x$
$(\csc x)' = -\csc x \cot x$
$(a^x)' = a^x \ln a$
$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
$(\text{arccot}\, x)' = -\frac{1}{1+x^2}$

2. 基本积分表与核心积分公式

$\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$
$\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$
$\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
$\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$
$\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$
$\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$
$\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln(x+\sqrt{x^2 \pm a^2}) + C$
$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

3. 点火公式（Wallis 公式）与三大无理根式积分

$$I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$$ $$\int \sqrt{x^2+a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C$$ $$\int \sqrt{x^2-a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C$$ $$\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$$

4. 三角函数有理式万能代换

令 $u = \tan\frac{x}{2}$，则：$$\sin x = \frac{2u}{1+u^2}, \quad \cos x = \frac{1-u^2}{1+u^2}, \quad dx = \frac{2du}{1+u^2}$$

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1. 初等双曲函数与重要极限

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$
$\text{arsinh}\, x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e \approx 2.71828$

2. 三角函数诱导公式大全

角 $A$$\sin A$$\cos A$$\tan A$$\cot A$
$-\alpha$$-\sin\alpha$$\cos\alpha$$-\tan\alpha$$-\cot\alpha$
$90^\circ-\alpha$$\cos\alpha$$\sin\alpha$$\cot\alpha$$\tan\alpha$
$90^\circ+\alpha$$\cos\alpha$$-\sin\alpha$$-\cot\alpha$$-\tan\alpha$
$180^\circ-\alpha$$\sin\alpha$$-\cos\alpha$$-\tan\alpha$$-\cot\alpha$
$180^\circ+\alpha$$-\sin\alpha$$-\cos\alpha$$\tan\alpha$$\cot\alpha$
$270^\circ-\alpha$$-\cos\alpha$$-\sin\alpha$$\cot\alpha$$\tan\alpha$
$270^\circ+\alpha$$-\cos\alpha$$\sin\alpha$$-\cot\alpha$$-\tan\alpha$
$360^\circ-\alpha$$-\sin\alpha$$\cos\alpha$$-\tan\alpha$$-\cot\alpha$

3. 和差角与和差化积公式

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta, \quad \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$ $$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}, \quad \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$
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1. 倍角、半角与正余弦定理

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha$
$\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$
$\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$
$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$
$\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$

正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$；余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$。

2. 高阶导数莱布尼茨公式 (Leibniz)

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} = u^{(n)}v + n u^{(n-1)}v' + \frac{n(n-1)}{2!}u^{(n-2)}v'' + \cdots + uv^{(n)}$$

3. 中值定理与平面曲线曲率

拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)$；柯西中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$。

弧微分：$ds = \sqrt{1+(y')^2} \, dx$；曲率：$K = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$；曲率半径：$\rho = \frac{1}{K}$。

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1. 定积分近似计算与物理应用

$$\text{梯形公式：} \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n}\left[\frac{y_0+y_n}{2} + y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1}\right]$$ $$\text{辛普森抛物线法：} \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{3n}[(y_0+y_n) + 4(y_1+y_3+\cdots) + 2(y_2+y_4+\cdots)]$$

物理应用：功 $W = \int F(s)ds$；水压力 $P = \int \rho g h \, dA$；引力 $F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$；平均值 $\bar{y} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$。

2. 空间解析几何与向量代数

距离：$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
数量积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
向量积：$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$
混合积（体积）：$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$
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1. 平面与空间直线方程

平面点法式：$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$；点到平面距离：$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。

直线对称式（点向式）：$\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p} = t$。

2. 常见二次曲面

椭球面：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$
椭圆抛物面：$\frac{x^2}{2p} + \frac{y^2}{2q} = z$
单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$

3. 多元函数微分与隐函数求导

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy, \qquad \Delta z \approx dz = f_x \Delta x + f_y \Delta y$$ $$\text{隐函数 } F(x,y)=0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{F_{xx}F_y^2 - 2F_{xy}F_x F_y + F_{yy}F_x^2}{F_y^3}$$ $$\text{隐函数 } F(x,y,z)=0 \implies \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$
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1. 微分几何、方向导数与梯度

曲面 $F(x,y,z)=0$ 的法向量 $\vec{n} = (F_x, F_y, F_z)$，切平面方程：$F_x(x-x_0) + F_y(y-y_0) + F_z(z-z_0) = 0$。

梯度向量：$\text{grad}\, u = \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)$；方向导数最大值即梯度的模长：$\max \frac{\partial u}{\partial l} = |\text{grad}\, u|$。

2. 二元极值判别与二重积分极坐标

设 $A = f_{xx}, B = f_{xy}, C = f_{yy}, \Delta = AC - B^2$：

  • 若 $\Delta > 0$ 且 $A > 0$：极小值；若 $\Delta > 0$ 且 $A < 0$：极大值；
  • 若 $\Delta < 0$：非极值点；若 $\Delta = 0$：方法失效。

二重积分极坐标代换：$$\iint_D f(x,y)\,dxdy = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r\,drd\theta$$

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1. 三重积分的三种坐标系变换

$$\text{直角坐标：} \iiint_\Omega f(x,y,z)\,dxdydz = \iint_{D_{xy}} dxdy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz$$ $$\text{柱面坐标：} x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z \implies dV = r\,drd\theta dz$$ $$\text{球面坐标：} x = r\sin\varphi\cos\theta, y = r\sin\varphi\sin\theta, z = r\cos\varphi \implies dV = r^2\sin\varphi\,drd\varphi d\theta$$

2. 重积分应用（曲面积分与质心转动惯量）

曲面面积：$S = \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dxdy$；质心坐标：$\bar{x} = \frac{\iiint x\rho \,dV}{M}$；转动惯量：$I_z = \iiint (x^2+y^2)\rho \,dV$。

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1. 第一类曲线与曲面积分（对弧长、对面积）

$$\text{平面曲线：} \int_L f(x,y)\,ds = \int_a^b f(x, y(x))\sqrt{1+(y')^2}\,dx = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t))\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$$ $$\text{第一类曲面：} \iint_\Sigma f(x,y,z)\,dS = \iint_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$$

对称性化简：若积分区域关于 $x=0$ 对称，被积函数是 $x$ 的奇函数则积分恒为 0；偶函数则为半区域的两倍。

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1. 第二类线面积分与格林、高斯、斯托克斯公式

$$\text{格林公式 (Green)：} \oint_L Pdx + Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$$ $$\text{高斯公式 (Gauss)：} \oiint_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$$ $$\text{斯托克斯公式 (Stokes)：} \oint_L Pdx + Qdy + Rdz = \iint_\Sigma \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} dS$$

散度：$\text{div}\,\vec{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$；旋度：$\text{rot}\,\vec{A} = \nabla \times \vec{A}$。

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1. 常数项级数审敛法则

柯西根值法：$\rho = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n}$（$\rho < 1$ 收敛，$\rho > 1$ 发散）
达朗贝尔比值法：$\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$（$\rho < 1$ 收敛）
莱布尼茨交错审敛：$u_n \ge u_{n+1}$ 且 $\lim_{n\to\infty} u_n = 0 \implies \sum (-1)^n u_n$ 收敛
$p$-级数：$\sum \frac{1}{n^p}$（$p > 1$ 收敛，$p \le 1$ 发散）
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1. 幂级数与常用麦克劳林展开式全表

阿贝尔定理确定收敛半径 $R = \lim |\frac{a_n}{a_{n+1}}|$ 或 $R = \frac{1}{\lim \sqrt[n]{|a_n|}}$。

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n \quad (-1 < x < 1), \qquad e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \quad (-\infty < x < +\infty)$$ $$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \qquad \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$ $$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} \quad (-1 < x \le 1)$$
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1. 傅里叶级数 (Fourier Series)

狄利克雷收敛定理确定收敛于 $f(x)$ 或 $\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$。傅里叶展开式：

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx \, dx, \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx \, dx$$
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1. 常微分方程求解全集

一阶线性微分方程： $y' + P(x)y = Q(x) \implies y = e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right]$。

二阶常系数齐次线性方程 $y'' + py' + qy = 0$ 特征方程 $r^2+pr+q=0$：

  • 两互异实根 $r_1, r_2$：$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$；
  • 两重根 $r$：$y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$；
  • 共轭复根 $\alpha \pm i\beta$：$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$。
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🎲 第二篇 概率论与数理统计公式

1. 事件概率、条件概率与逆概公式

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB), \qquad P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$$ $$\text{全概率公式：} P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)$$ $$\text{贝叶斯 (Bayes) 逆概公式：} P(B_k|A) = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)}$$
PDF 第 16 ~ 17 页

1. 常见离散型与连续型随机变量分布

分布名称概率分布 / 概率密度 $f(x)$期望 $E(X)$方差 $D(X)$
0-1 分布 $B(1,p)$$P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k}$$p$$p(1-p)$
二项分布 $B(n,p)$$P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$$np$$np(1-p)$
泊松分布 $P(\lambda)$$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$\lambda$$\lambda$
均匀分布 $U(a,b)$$f(x)=\frac{1}{b-a} \quad (a < x < b)$$\frac{a+b}{2}$$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布 $\text{Exp}(\lambda)$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x} \quad (x>0)$$\frac{1}{\lambda}$$\frac{1}{\lambda^2}$
正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$\mu$$\sigma^2$
PDF 第 18 ~ 20 页

1. 卷积公式、大数定律与三大抽样分布

$$\text{独立和卷积：} f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx$$ $$\text{协方差：} \text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y), \qquad \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$$ $$\text{切比雪夫不等式：} P(|X - E(X)| \ge \varepsilon) \le \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$$

三大抽样分布：$\chi^2 = \sum X_i^2$；$t = \frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$；$F = \frac{X/n_1}{Y/n_2} \sim F(n_1, n_2)$（互易性 $F_{1-\alpha}(n_1,n_2) = \frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}$）。

PDF 第 20 ~ 24 页

📊 第三篇 线性代数核心公式与解题架构

1. 矩阵基本运算、分块矩阵与初等变换

$$(AB)^T = B^T A^T, \quad (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}, \quad (AB)^* = B^* A^*$$ $$\begin{bmatrix} A & O \\ C & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1} C A^{-1} & B^{-1} \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} O & A \\ B & C \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} -B^{-1} C A^{-1} & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{bmatrix}$$
PDF 第 25 ~ 29 页

1. 向量组线性相关性判别与矩阵的秩

  • 以少表多：若 $\beta_1, \dots, \beta_t$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 线性表出且 $t > s$，则 $\beta$ 组必线性相关；
  • 两向量组被表出的，秩不大：$r(\beta) \le r(\alpha)$；
  • 伴随矩阵的秩阶梯公式：$$r(A^*) = \begin{cases} n, & r(A) = n \\ 1, & r(A) = n-1 \\ 0, & r(A) < n-1 \end{cases}$$
  • 乘积零矩阵秩不等式：若 $AB = 0$，则 $r(A) + r(B) \le n$。
PDF 第 30 ~ 34 页

1. 线性方程组解的结构与矩阵相似

齐次方程组基础解系解向量个数：$s = n - r(A)$；非齐次方程组通解结构：$x = \sum k_i \xi_i + \eta^*$。

同解方程组“三秩相同”金牌口诀：
$$Ax = 0 \text{ 与 } Bx = 0 \text{ 同解} \iff r(A) = r(B) = r\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}$$
PDF 第 35 ~ 39 页

1. 特征值、特征向量与相似对角化

特征方程 $|\lambda E - A| = 0$。恒等式：$\sum \lambda_i = \text{tr}(A)$，$\prod \lambda_i = |A|$。

可对角化充要条件：每个 $k_i$ 重特征根均满足 $n - r(\lambda_i E - A) = k_i$；实对称矩阵必可正交相似对角化（$Q^T A Q = \Lambda$）。

PDF 第 40 ~ 44 页

1. 实二次型、合同变换与配方法

二次型矩阵 $A = A^T$；合同变换 $C^T A C = B$（$C$ 可逆）；惯性定理：正负惯性指数 $p, q$ 不变。

配方法无平方项破局口诀：
“没有平方，创造平方”：若只有交叉项 $x_1 x_2$，令 $x_1 = y_1+y_2, x_2 = y_1-y_2$，展开即得平方项 $y_1^2 - y_2^2$。
PDF 第 45 ~ 48 页

1. 正定二次型与真题解题核心切入点

正定二次型五大充要条件：
1. 正惯性指数 $p = n$；
2. $A \simeq E$（合同于单位阵）；
3. 特征值全部大于 0；
4. 各阶顺序主子式全大于 0（$\Delta_k > 0$）；
5. 存在可逆矩阵 $D$ 使 $A = D^T D$。

证明切入点：证明矩阵可逆 $\implies |A| \neq 0$ 或寻找 $Ax=E$；证明两式相等 $AB=BA \implies$ 寻找可逆矩阵或对称性关系式。