📐 第一篇 高等数学公式
1. 导数公式
2. 基本积分表与核心积分公式
3. 点火公式（Wallis 公式）与三大无理根式积分
4. 三角函数有理式万能代换
令 $u = \tan\frac{x}{2}$，则：$$\sin x = \frac{2u}{1+u^2}, \quad \cos x = \frac{1-u^2}{1+u^2}, \quad dx = \frac{2du}{1+u^2}$$
1. 初等双曲函数与重要极限
2. 三角函数诱导公式大全
| 角 $A$ | $\sin A$ | $\cos A$ | $\tan A$ | $\cot A$ |
|---|---|---|---|---|
| $-\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ | $-\cot\alpha$ |
| $90^\circ-\alpha$ | $\cos\alpha$ | $\sin\alpha$ | $\cot\alpha$ | $\tan\alpha$ |
| $90^\circ+\alpha$ | $\cos\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $-\cot\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
| $180^\circ-\alpha$ | $\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ | $-\cot\alpha$ |
| $180^\circ+\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $\tan\alpha$ | $\cot\alpha$ |
| $270^\circ-\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $\cot\alpha$ | $\tan\alpha$ |
| $270^\circ+\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $\sin\alpha$ | $-\cot\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
| $360^\circ-\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ | $-\cot\alpha$ |
3. 和差角与和差化积公式
1. 倍角、半角与正余弦定理
正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$；余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$。
2. 高阶导数莱布尼茨公式 (Leibniz)
3. 中值定理与平面曲线曲率
拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)$；柯西中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$。
弧微分：$ds = \sqrt{1+(y')^2} \, dx$；曲率：$K = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$；曲率半径：$\rho = \frac{1}{K}$。
1. 定积分近似计算与物理应用
物理应用：功 $W = \int F(s)ds$；水压力 $P = \int \rho g h \, dA$；引力 $F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$；平均值 $\bar{y} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$。
2. 空间解析几何与向量代数
1. 平面与空间直线方程
平面点法式：$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$；点到平面距离：$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。
直线对称式（点向式）：$\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p} = t$。
2. 常见二次曲面
3. 多元函数微分与隐函数求导
1. 微分几何、方向导数与梯度
曲面 $F(x,y,z)=0$ 的法向量 $\vec{n} = (F_x, F_y, F_z)$，切平面方程：$F_x(x-x_0) + F_y(y-y_0) + F_z(z-z_0) = 0$。
梯度向量：$\text{grad}\, u = \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)$；方向导数最大值即梯度的模长：$\max \frac{\partial u}{\partial l} = |\text{grad}\, u|$。
2. 二元极值判别与二重积分极坐标
设 $A = f_{xx}, B = f_{xy}, C = f_{yy}, \Delta = AC - B^2$：
- 若 $\Delta > 0$ 且 $A > 0$：极小值；若 $\Delta > 0$ 且 $A < 0$：极大值；
- 若 $\Delta < 0$：非极值点；若 $\Delta = 0$：方法失效。
二重积分极坐标代换：$$\iint_D f(x,y)\,dxdy = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r\,drd\theta$$
1. 三重积分的三种坐标系变换
2. 重积分应用（曲面积分与质心转动惯量）
曲面面积：$S = \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dxdy$；质心坐标：$\bar{x} = \frac{\iiint x\rho \,dV}{M}$；转动惯量：$I_z = \iiint (x^2+y^2)\rho \,dV$。
1. 第一类曲线与曲面积分（对弧长、对面积）
对称性化简：若积分区域关于 $x=0$ 对称，被积函数是 $x$ 的奇函数则积分恒为 0；偶函数则为半区域的两倍。
1. 第二类线面积分与格林、高斯、斯托克斯公式
散度：$\text{div}\,\vec{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$；旋度：$\text{rot}\,\vec{A} = \nabla \times \vec{A}$。
1. 常数项级数审敛法则
1. 幂级数与常用麦克劳林展开式全表
阿贝尔定理确定收敛半径 $R = \lim |\frac{a_n}{a_{n+1}}|$ 或 $R = \frac{1}{\lim \sqrt[n]{|a_n|}}$。
1. 傅里叶级数 (Fourier Series)
狄利克雷收敛定理确定收敛于 $f(x)$ 或 $\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$。傅里叶展开式：
1. 常微分方程求解全集
一阶线性微分方程： $y' + P(x)y = Q(x) \implies y = e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right]$。
二阶常系数齐次线性方程 $y'' + py' + qy = 0$ 特征方程 $r^2+pr+q=0$：
- 两互异实根 $r_1, r_2$：$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$；
- 两重根 $r$：$y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$；
- 共轭复根 $\alpha \pm i\beta$：$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$。
🎲 第二篇 概率论与数理统计公式
1. 事件概率、条件概率与逆概公式
1. 常见离散型与连续型随机变量分布
| 分布名称 | 概率分布 / 概率密度 $f(x)$ | 期望 $E(X)$ | 方差 $D(X)$ |
|---|---|---|---|
| 0-1 分布 $B(1,p)$ | $P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k}$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| 二项分布 $B(n,p)$ | $P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| 泊松分布 $P(\lambda)$ | $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 均匀分布 $U(a,b)$ | $f(x)=\frac{1}{b-a} \quad (a < x < b)$ | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ |
| 指数分布 $\text{Exp}(\lambda)$ | $f(x)=\lambda e^{-\lambda x} \quad (x>0)$ | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{1}{\lambda^2}$ |
| 正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ | $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
1. 卷积公式、大数定律与三大抽样分布
三大抽样分布：$\chi^2 = \sum X_i^2$；$t = \frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$；$F = \frac{X/n_1}{Y/n_2} \sim F(n_1, n_2)$（互易性 $F_{1-\alpha}(n_1,n_2) = \frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}$）。
📊 第三篇 线性代数核心公式与解题架构
1. 矩阵基本运算、分块矩阵与初等变换
1. 向量组线性相关性判别与矩阵的秩
- 以少表多：若 $\beta_1, \dots, \beta_t$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 线性表出且 $t > s$，则 $\beta$ 组必线性相关；
- 两向量组被表出的，秩不大：$r(\beta) \le r(\alpha)$；
- 伴随矩阵的秩阶梯公式：$$r(A^*) = \begin{cases} n, & r(A) = n \\ 1, & r(A) = n-1 \\ 0, & r(A) < n-1 \end{cases}$$
- 乘积零矩阵秩不等式：若 $AB = 0$，则 $r(A) + r(B) \le n$。
1. 线性方程组解的结构与矩阵相似
齐次方程组基础解系解向量个数：$s = n - r(A)$；非齐次方程组通解结构：$x = \sum k_i \xi_i + \eta^*$。
$$Ax = 0 \text{ 与 } Bx = 0 \text{ 同解} \iff r(A) = r(B) = r\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}$$
1. 特征值、特征向量与相似对角化
特征方程 $|\lambda E - A| = 0$。恒等式：$\sum \lambda_i = \text{tr}(A)$，$\prod \lambda_i = |A|$。
可对角化充要条件：每个 $k_i$ 重特征根均满足 $n - r(\lambda_i E - A) = k_i$；实对称矩阵必可正交相似对角化（$Q^T A Q = \Lambda$）。
1. 实二次型、合同变换与配方法
二次型矩阵 $A = A^T$；合同变换 $C^T A C = B$（$C$ 可逆）；惯性定理：正负惯性指数 $p, q$ 不变。
“没有平方，创造平方”：若只有交叉项 $x_1 x_2$，令 $x_1 = y_1+y_2, x_2 = y_1-y_2$，展开即得平方项 $y_1^2 - y_2^2$。
1. 正定二次型与真题解题核心切入点
1. 正惯性指数 $p = n$；
2. $A \simeq E$（合同于单位阵）；
3. 特征值全部大于 0；
4. 各阶顺序主子式全大于 0（$\Delta_k > 0$）；
5. 存在可逆矩阵 $D$ 使 $A = D^T D$。
证明切入点：证明矩阵可逆 $\implies |A| \neq 0$ 或寻找 $Ax=E$；证明两式相等 $AB=BA \implies$ 寻找可逆矩阵或对称性关系式。